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如圖,△ABC中AC=BC,D為邊AB上的一點,且∠BCD=3∠ACD,O為AC上一點,以O為圓心的⊙O恰好經過C、D兩點.
(1)求證:直線AB為⊙O的切線;
(2)若BD=4,AD=2,求⊙O的半徑.

解:(1)連接OD,過C作CM⊥AB,如圖所示:

∵CA=CB,又CM⊥AB,
∴CM平分∠ACB,
又∠BCD=3∠ACD,設∠BCD=3x,∠ACD=x,
∴∠ACM=2x,
∴∠DCM=∠ACM-∠ACD=x,
又OC=OD,∴∠ODC=∠ACD=x,
∴∠ODC=∠DCM,
∴OD∥CM,又∠AMC=90°,
∴∠ADO=90°,即OD⊥AD,
∴AB為圓O的切線;

(2)∵CA=CB,又CM⊥AB,
∴M為AB的中點,即AM=BM,
又AD=2,BD=4,
∴AM=AB=3,則DM=AM-AD=3-2=1,
過D作DN⊥AC,
∵∠ACD=∠MCD,又DM⊥MC,DN⊥AC,
∴DM=DN=1,
在直角三角形ADN,DM=1,AD=2,
∴∠A=30°,
在直角三角形AOD中,
tanA=,即tan30°=,
∴OD=2×=
分析:(1)連接OD,過C作CM垂直于AB,由AC=BC,根據三線合一得到CM為頂角∠ACB的平分線,又∠BCD=3∠ACD,設∠ACD=x,可得∠BCD=3x,進而得到∠ACB=4x,根據角平分線定義可得∠ACM=2x,再用∠ACM-∠ACD可得∠DCM=x,再根據半徑OC=OD,利用等邊對等角,可得一對內錯角相等,根據內錯角相等兩直線平行得OD與CM平行,有CM與AB垂直可得OD與AB垂直,可得AB為圓O的切線;
(2)由AC=BC,且CM為底邊上的高,根據三線合一得到M為AB的中點,再由AD及BD的值求出AB的值,進而求出AM的值,可求出DM的值為1,過D作DN垂直AC,由(1)得到CD為∠ACM的平分線,根據角平分線定理得到DM=DN,可得DN的值為1,在直角三角形ADN中,由DN=1,斜邊AD=2,可得∠A為30°,在直角三角形AOD中,根據正切的定義,tanA等于對邊OD比鄰邊AD,利用特殊角的三角函數值及AD的長即可求出半徑OD的長.
點評:此題考查了切線的判定,等腰三角形的性質,角平分線定理,平行線的性質,銳角三角函數,以及直角三角形的性質,判定切線的方法為:有點連接證垂直;無點過圓心作垂線,證明垂線段長等于半徑,根據題意作出相應的輔助線是解本題的關鍵.
練習冊系列答案
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A.                  B.                  C.                  D.

 

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