Question

如圖，A（1，0），B（4，0），M（5，3）．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿x軸以每秒1個單位長的速度向右移動，且過點(diǎn)P的直線l：y=-x+b也隨之移動．設(shè)移動時間為t秒．

（1）當(dāng)t=1時，求l的解析式；
（2）若l與線段BM有公共點(diǎn)，確定t的取值范圍；
（3）直接寫出t為何值時，點(diǎn)M關(guān)于l的對稱點(diǎn)落在y軸上．如不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y=-x+2 （2）3≤t≤7 （3）t為2時，點(diǎn)M關(guān)于l的對稱點(diǎn)落在y軸上．

（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出一次函數(shù)的解析式；
（2）分別求出直線l經(jīng)過點(diǎn)B、點(diǎn)M時的t值，即可得到t的取值范圍；
（3）找出點(diǎn)M關(guān)于直線l在y軸上的對稱點(diǎn)C，如解答圖所示．求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后求出MC中點(diǎn)坐標(biāo)，最后求出t的值．
解：（1）直線y=-x+b交x軸于點(diǎn)P（1+t，0），
由題意，得b＞0，t≥0，．
當(dāng)t=1時，-2+b=0，解得b=2，
故y=-x+2．
（2）當(dāng)直線y=-x+b過點(diǎn)B（4，0）時，
0=-4+b，
解得：b=4，
0=-（1+t）+4，
解得t=3．
當(dāng)直線y=-x+b過點(diǎn)M（5，3）時，
3=-5+b，
解得：b=8，
0=-（1+t）+8，
解得t=7．
故若l與線段BM有公共點(diǎn)，t的取值范圍是：3≤t≤7．
（3）如圖，

過點(diǎn)M作MC⊥直線l，交y軸于點(diǎn)C，交直線l于點(diǎn)D，則點(diǎn)C為點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上的對稱點(diǎn)．
設(shè)直線MC的解析式為y=x+m，則
3=5+m，解得m=-2，
故直線MC的解析式為y=x-2．
當(dāng)x=0時，y=0-2=-2，
則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），
∵（0+5）÷2=2.5，
（3-2）÷2=0.5，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2.5，0.5），
當(dāng)直線y=-x+b過點(diǎn)D（2.5，0.5）時，
0.5=-2.5+b，
解得：b=3，
0=-（1+t）+3，
解得t=2．
∴t為2時，點(diǎn)M關(guān)于l的對稱點(diǎn)落在y軸上．