Question

如圖，在△ABC中，AB=BC=2，高BE=

3

，在BC邊的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使CD=3．
（1）現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P由A沿AB移動(dòng)，設(shè)AP=t，S_△PCD=S，求S與t之間的關(guān)系式及自變量t的取值范圍．
（2）在（1）的條件下，當(dāng)t=

1

3

時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥PD于H，設(shè)K=7CH：9PD．求證：關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x2-(10k-

3

)x+2k的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（3）在（1）的條件下，是否存在正實(shí)數(shù)t，使PD邊上的高CH=

1

2

CD？如果存在，請(qǐng)求出t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）要求s與t的函數(shù)關(guān)系式，只要表示出DC邊上的高就可以了，而CD邊上的高可以用三角函數(shù)表述出來(lái)．因?yàn)楹苋菀鬃C明△ABC是正三角形．AP的取值范圍是0≤PD≤2．
（2）要求證二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，只要求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，要求交點(diǎn)坐標(biāo)就要求出k值，要求k值就要求出CH、PD的值，可以利用三角形的面積公式和勾股定理求出，從而的解．
（3）當(dāng)CH=1.5時(shí)，利用勾股定理建立方程，從而求出t的值，確定t的值滿足不滿足題意要求．

解答：（1）解：過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BD于點(diǎn)F．
∵AB=BC=2，高BE=

3

，
∴由銳角三角函數(shù)，得∠A=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BPF=30°．
∵AP=t，
∴PB=2-t，
∴PF=

3

2

（2-t），
∴S=

1

2

×3×

3

2

（2-t），
=-

3 3

4

t+

3 3

2

（0≤t≤2）；

（2）證明：∵t=

1

3

，
∴PB=2-

1

3

=

5

3

，
∴PB=

5

6

，PF=

5 3

6

，CF=

7

6

，
∴DF=3+

7

6

=

25

6

，
在Rt△PFD中由勾股定理得
DP=

(   5 6 3 )2 +( 25 6 )2

，
=

10 7

6

，
在△PCD中

1

2

×

5 3

6

×3=

1

2

×

10 7

6

CH，
解得CH=

3 21

14

，
K=

3 21 14 ×7

10 7 6 ×9

=

3

10

，
∴y=-x2-(10×

3

10

-

3

)x +2×

3

10

，
y=-x2+

3

5

，
當(dāng)y=0時(shí)，解得x=±

5 3

5

，
∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為：(

5 3

5

，0)或(-

5 3

5

，0)，
∴原二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

（3）解：不存在正實(shí)數(shù)P．
∵CH⊥DP，且CH=

1

2

CD
∴∠D=30°
∴DP=2PF=（2-t）

3

，DF=2-

2-t

2

+3=

t+8

2

由勾股定理得
[(2-t)

3

]2=(

t+8

2

)2+(

(2-t) 3

2

)2
解得t₁=7不符合題意應(yīng)舍去．
t₂=-

1

2

不符合題意應(yīng)舍去．
∴當(dāng)CH=1.5時(shí)，求出的t的值不滿足題意要求．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了求二次函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱、三角函數(shù)值、勾股定理以及問題的存在性等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，且計(jì)算量比較大，對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力有較高的要求．