Question

（1）已知一個(gè)三角形的周長為P，問這個(gè)三角形的最大邊長度在哪個(gè)范圍內(nèi)變化？
（2）從1、2、3、4…、2013中任選k個(gè)數(shù)，使所選的個(gè)數(shù)中一定可以找到構(gòu)成三角形邊長的三個(gè)數(shù)（這里要求三角形三邊長互不相等），試問滿足條件的k的最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意在△ABC中，不妨設(shè)a≤b≤c（最大邊長度為c），根據(jù)三角形的周長計(jì)算，三角形三邊關(guān)系和不等式的性質(zhì)可得c＜

P

2

，c≥

P

3

，從而得出三角形的最大邊長度的范圍．
（2）這一問題等價(jià)于在1，2，3，2004中選k-1個(gè)數(shù)，使其中任意三個(gè)數(shù)都不能成為三邊互不相等的一個(gè)三角形三邊的長，試問滿足這一條件的k的最大值是多少？符合上述條件的數(shù)組，當(dāng)k=4時(shí)，最小的三個(gè)數(shù)就是1，2，3，由此可不斷擴(kuò)大該數(shù)組，只要加入的數(shù)大于或等于已得數(shù)組中最大的兩個(gè)數(shù)之和．

解答：解：（1）在△ABC中，不妨設(shè)a≤b≤c，
∵a+b＞c，
∴a+b+c＞2c，即p＞2c，c＜

P

2

，另一方面c≥a且c≥b，
2c≥a+b，
∴3c≥a+b+c=p，c≥

P

3

，
因此這個(gè)三角形的最大邊長度的范圍為：

P

3

≤c＜

p

2

．

（2）為使k達(dá)到最大，可選加入之?dāng)?shù)等于已得數(shù)組中最大的兩數(shù)之和，這樣得：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 ①
共16個(gè)數(shù)，對符合上述條件的任數(shù)組，a₁，a₂…a_n顯然總有a_i大于等于①中的第i個(gè)數(shù)，
所以n≤16≤k-1，從而知k的最小值為17．

點(diǎn)評：（1）主要考查了三角形三邊關(guān)系和三角形的周長計(jì)算，解題關(guān)鍵是根據(jù)三角形三邊關(guān)系和周長計(jì)算列出關(guān)于三角形的最大邊和三角形的周長之間的不等式（組）．
（2）本題考查了三角形三邊關(guān)系．解題關(guān)鍵是得到加入之?dāng)?shù)等于已得數(shù)組中最大的兩數(shù)之和的16個(gè)數(shù)，從而列不等式求出k的最小值．