Question

如圖，已知△ABC三邊長相等，和點P，設點P到△ABC三邊AB、AC、BC（或其延長線）的距離分別為h₁、h₂、h₃，△ABC的高為h，在圖①中，點P是邊BC的中點，由得，AB·h₁+AC·h₂=BC·h，可得h₁+h₂=h，又因為h₃=0，所以：h₁+h₂+h₃=h。圖②～⑤中，點P分別在線段MC上、MC延長線上、△ABC內(nèi)、△ABC外。

（1）請?zhí)骄浚簣D②～⑤中，h₁、h₂、h₃、h之間的關系；（直接寫出結(jié)論）
（2）說明圖③所得結(jié)論為什么是正確的；
（3）說明圖⑤所得結(jié)論為什么是正確的。

Answer 1

解：（1）②h_l+h₂+h₃=h；③h₁h₂+h₃=h；④h₁+h₂+h₃=h；⑤h₁+h₂h₃=h。
（2）圖②中，h₁+h₂+h₃=h，連接AP，則
則AB×h₁+AC×h₂=B×Ch
又h₃=0，AB=AC=BC，
∴h₁+h₂+h₃=h。
（3）圖⑤中，h₁+h₂+h₃=h
連接PA、PB、PC，
則S_△APB+S_△APC=S_△ABC+S_△BPC
則AB×h₁+AC×h₂=BC×h+BC×h₃
又AB=AC=BC，
∴h₁+h₂=h+h₃
∴h₁+h₂-h₃=h。