Question

已知多項式2x⁴-3x³+ax²+7x+b能被x²+x-2整除，則

a

b

的值是

-2

．

Answer 1

分析：由于x²+x-2=（x+2）（x-1），而多項式2x⁴-3x³+ax²+7x+b能被x²+x-2整除，則2x⁴-3x³+ax²+7x+b能被（x+2）（x-1）整除．運用待定系數法，可設商是A，則2x⁴-3x³+ax²+7x+b=A（x+2）（x-1），則x=-2和x=1時，2x⁴-3x³+ax²+7x+b=0，分別代入，得到關于a、b的二元一次方程組，解此方程組，求出a、b的值，進而得到

a

b

的值．

解答：解：∵x²+x-2=（x+2）（x-1），
∴2x⁴-3x³+ax²+7x+b能被（x+2）（x-1）整除，
設商是A．
則2x⁴-3x³+ax²+7x+b=A（x+2）（x-1），
則x=-2和x=1時，右邊都等于0，所以左邊也等于0．
當x=-2時，2x⁴-3x³+ax²+7x+b=32+24+4a-14+b=4a+b+42=0  ①
當x=1時，2x⁴-3x³+ax²+7x+b=2-3+a+7+b=a+b+6=0         ②
①-②，得
3a+36=0，
∴a=-12，
∴b=-6-a=6．
∴

a

b

=

-12

6

=-2．
故答案為-2．

點評：本題主要考查了待定系數法在因式分解中的應用．在因式分解時，一些多項式經過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數．由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據多項式恒等的性質，兩邊對應項系數應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關于待定系數的方程（或方程組），解出待定字母系數的值，這種因式分解的方法叫作待定系數法．本題關鍵是能夠通過分析得出x=-2和x=1時，原多項式的值均為0，從而求出a、b的值．本題屬于競賽題型，有一定難度．