Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l平行x軸，交y軸于點(diǎn)A，第一象限內(nèi)的點(diǎn)B在l上，連結(jié)OB，動(dòng)點(diǎn)P在直線OB上運(yùn)動(dòng)且滿足∠APQ=90°，PQ交x軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D是直線OB與直線CA的交點(diǎn)，點(diǎn)E是直線CP與y軸的交點(diǎn)，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，則PA：PC=（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$或$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$
• D． 以上都不對(duì)

Answer 1

分析 可分點(diǎn)P在線段OB的延長(zhǎng)線上及其反向延長(zhǎng)線上兩種情況進(jìn)行討論．易證PA：PC=PN：PM，設(shè)OA=x，只需用含x的代數(shù)式表示出PN、PM的長(zhǎng)，即可求出PA：PC的值．

解答 解：①若點(diǎn)P在線段OB的延長(zhǎng)線上，
過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸，垂足為N，
PM與直線AC的交點(diǎn)為F，如圖1所示．

∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP，
∴△ANP∽△CMP．
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PN}{PM}$．
∵∠ACE=∠AEC，
∴AC=AE．
∵AP⊥PC，
∴EP=CP．
∵PM∥y軸，
∴AF=CF，OM=CM．
∴FM=$\frac{1}{2}$OA．
設(shè)OA=x，
∵PF∥OA，
∴△PDF∽△ODA．
∴$\frac{PF}{OA}=\frac{PD}{OD}$，
∵PD=2OD，
∴PF=2OA=2x，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$x．
∴PM=$\frac{5}{2}$x．
∵∠APC=90°，AF=CF，
∴AC=2PF=4x．
∵∠AOC=90°，
∴OC=$\sqrt{15}$x．
∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°，
∴四邊形PMON是矩形．
∴PN=OM=$\frac{\sqrt{15}}{2}$x．
∴PA：PC=PN：PM=$\frac{\sqrt{15}}{2}x$：$\frac{5}{2}$x=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
②若點(diǎn)P在線段OB的反向延長(zhǎng)線上，
過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸，垂足為N，
PM與直線AC的交點(diǎn)為F，如圖2所示．

同理可得：PM=$\frac{3}{2}$x，CA=2PF=4x，OC=$\sqrt{15}$x．
∴PN=OM=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{\sqrt{15}}{2}$x．
∴PA：PC=PN：PM=$\frac{\sqrt{15}}{2}$x：$\frac{3}{2}$x=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
綜上所述：PA：PC的值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$或$\frac{\sqrt{15}}{3}$；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練運(yùn)用相似判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．