Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M為拋物線y=-x²+2nx-n²+2n的頂點(diǎn)，過點(diǎn)（0，4）作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)P、Q（點(diǎn)P在Q的左側(cè)），PQ=4．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）小麗發(fā)現(xiàn)：將拋物線y=-x²+2nx-n²+2n繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°，所得新拋物線的頂點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)O，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，已知點(diǎn)A（1，0），以PA為邊作矩形PABC（點(diǎn)P、A、B、C按順時(shí)針的方向排列），

PA

AB

=

1

t

．
①寫出C點(diǎn)的坐標(biāo)：C（

 

，

 

）（坐標(biāo)用含有t的代數(shù)式表示）；
②若點(diǎn)C在題（2）中旋轉(zhuǎn)后的新拋物線上，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)綜合題

分析：（1）把P的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于x的方程，解的方程的解，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得和PQ=4，求得n的值，即可求得解析式；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到Q繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°后的對(duì)稱點(diǎn)為Q′（-2，4），得出新拋物線的對(duì)稱軸是y軸，然后求得拋物線的頂點(diǎn)到直線PQ的距離為4，即可判斷新拋物線頂點(diǎn)應(yīng)為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（3）①根據(jù)三角形相似即可求得C的坐標(biāo)；②由（1）可知，旋轉(zhuǎn)后的新拋物線是y=ax²，新拋物線是y=ax²過P（2，4），求得新拋物線的解析式，把C（-4t+2，4+t）代入即可求得t的值．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+2nx-n²+2n過點(diǎn)P，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，
∴4=-x²+2nx-n²+2n
解得：x₁=n+

2n-4

，x₂=n-

2n-4

，
∵PQ=x₁-x₂=4，
∴2

2n-4

=4，
解得：n=4，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x²+8x-8，
∴4=-x²+8x-8，
解得：x=2或x=6，
∴P（2，4）．

（2）正確；
∵P（2，4），PQ=4，
∴Q繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°后的對(duì)稱點(diǎn)為Q′（-2，4），
∴P與Q′正好關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴所得新拋物線的對(duì)稱軸是y軸，
∵拋物線y=-x²+8x-8=-（x-4）²+8，
∴拋物線的頂點(diǎn)M（4，8），
∴頂點(diǎn)M到直線PQ的距離為4，
∴所得新拋物線頂點(diǎn)到直線PQ的距離為4，
∴所得新拋物線頂點(diǎn)應(yīng)為坐標(biāo)原點(diǎn)．


（3）①如圖2，過P作x軸的垂線，交x軸于M，過C作CN⊥MN于N，
∵

PA

AB

=

1

t

，
∴

PA

PC

=

1

t

，
∵△APM∽△PCN，
∴

PN

AM

=

CN

PM

=

PC

PA

=

t

1

，
∵AM=2-1=1，PM=4，
∴PN=t，CN=4t，
∴MN=4+t，
∴C（-4t+2，4+t），
②由（1）可知，旋轉(zhuǎn)后的新拋物線是y=ax²，
∵新拋物線是y=ax²過P（2，4），
∴4=4a，
∴a=1，
∴旋轉(zhuǎn)后的新拋物線是y=x²，
∵C（-4t+2，4+t）在拋物線y=x²上，
∴4+t=（-4t+2）²，
解得：t=0（舍去）或t=

17

16

，
∴t=

17

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，頂點(diǎn)坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)待定系數(shù)法求解析式等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意從問題中整理出二次函數(shù)模型．