Question

已知，如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（，0），以AB為直徑作⊙M，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，交y正半軸于點(diǎn)D，連接AC、BC，過(guò)A、B、C三點(diǎn)作拋物線(xiàn)．
（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；
（2）連接D M并延長(zhǎng)交⊙M于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作⊙M的切線(xiàn)分別交x軸、y軸于點(diǎn)F、G，求直線(xiàn)FG的解析式；
（3）在拋物線(xiàn)上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA、OB的長(zhǎng)，從而得到⊙M的直徑，然后求出半徑DM以及OM，再根據(jù)勾股定理列式求出OD的長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理可得OC=OD，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）在Rt△ODM中，利用正切函數(shù)值求出∠ODM的度數(shù)是30°，再根據(jù)切線(xiàn)的定義可得DE⊥FG，然后解直角三角形求出DG的長(zhǎng)度，∠DGE=60°，從而可得OG的長(zhǎng)度，再利用∠DGE的正切函數(shù)值求出OF的長(zhǎng)度，從而可得點(diǎn)G、F的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求直線(xiàn)解析式解答即可；
（3）根據(jù)梯形的定義，分①AB是底邊時(shí)，PC∥AB，利用點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，代入拋物線(xiàn)解析式計(jì)算求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，即可得解；②AC是底邊時(shí)，PB∥AC，先根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得到直線(xiàn)AC的解析式，再根據(jù)平行直線(xiàn)的解析式的k值相等求出過(guò)點(diǎn)B與AC平行的直線(xiàn)的解析式，然后與拋物線(xiàn)解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；③BC是底邊時(shí)，AP∥BC，根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)求出直線(xiàn)BC的解析式，再根據(jù)平行直線(xiàn)的解析式的k值相等求出過(guò)點(diǎn)A與BC平行的直線(xiàn)的解析式，然后與拋物線(xiàn)解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0），
∴OA=，OB=3，
∴⊙M的直徑=+3=4，
∴⊙M的半徑DM=×4=2，
OM=2-=，
在Rt△ODM中，根據(jù)勾股定理，OD===3，
根據(jù)垂徑定理，OC=OD=3，
所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），
設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=ax²+bx+c，
則，
解得，
所以，拋物線(xiàn)的解析式為y=x²-x-3；

（2）在Rt△ODM中，tan∠ODM==，
所以，∠ODM=30°，
∵FG是⊙M的切線(xiàn)，
∴DE⊥FG，
∴∠DGE=90°-30°=60°，
DG=DE÷cos30°=4÷=8，
∴OG=DG-OD=8-3=5，
∴OF=OG•tan60°=5，
∴點(diǎn)G（0，-5），F(xiàn)（5，0），
設(shè)直線(xiàn)FG的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以，直線(xiàn)FG的解析式為y=x-5；

（3）①AB是底邊時(shí)，PC∥AB，
所以，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，是-3，
即x²-x-3=-3，
整理得，x²-2x=0，
解得x₁=0（為點(diǎn)C坐標(biāo)，舍去），x₂=2，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）；
②AC是底邊時(shí)，PB∥AC，由點(diǎn)A（-，0）、C（0，-3）可得直線(xiàn)AC的解析式為y=-x-3，
設(shè)直線(xiàn)PB的解析式為y=-x+m，
把點(diǎn)B（3，0）代入得，-×3+m=0，
解得m=9，
所以，直線(xiàn)PB的解析式為y=-x+9，
聯(lián)立，
解得（為點(diǎn)B的坐標(biāo)，舍去），，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，21）；
③BC是底邊時(shí)，AP∥BC，由點(diǎn)B（3，0）、C（0，-3）可得直線(xiàn)BC的解析式為y=x-3，
設(shè)直線(xiàn)AP的解析式為y=x+n，
把點(diǎn)A（-，0）代入得，×（-）+n=0，
解得n=1，
所以，直線(xiàn)AP的解析式為y=x+1，
聯(lián)立，
解得（為點(diǎn)A的坐標(biāo)，舍去），，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，5）；
經(jīng)檢驗(yàn)，三種情況時(shí)，兩底邊都不相等，
故存在點(diǎn)P（2，-3）或（-4，21）或（4，5），使以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（包括二次函數(shù)解析式與一次函數(shù)解析式），勾股定理的應(yīng)用，垂徑定理，兩平行直線(xiàn)的解析式的k值相等的性質(zhì)，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，梯形的兩底邊平行，（3）要分AB、AC、BC分別是底邊三種情況討論求解．