Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別同時(shí)從D、A出發(fā)，以1cm/秒的速度各自沿著DA、AB邊向A、B運(yùn)動(dòng)，試解答下列各題：
（1）當(dāng)P、Q出發(fā)后多少秒時(shí)，四邊形APOQ為正方形？
（2）當(dāng)P、Q出發(fā)后多少秒時(shí)，S_△PQO=

5

32

S_{正方形ABCD}？

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)題意畫出圖形，再設(shè)當(dāng)P、Q出發(fā)后x秒時(shí)，四邊形APOQ為正方形，則DP=AQ=x；AP=4-x，再根據(jù)條件“四邊形APOQ為正方形”可得AP=PO=AQ，故4-x=x，解可得答案；
（2）首先利用正方形的性質(zhì)找出證明△AQO≌△DPO的條件，進(jìn)而得到△AQO和△PDO的面積相等，由此推出△ADO的面積與四邊形APOQ的面積相等，再根據(jù)S_△POQ=S_{四邊形APOQ}-S_△APQ=S_△ADO-S_△APQ代入相關(guān)數(shù)據(jù)，解方程可得答案．

解答：解：（1）設(shè)當(dāng)P、Q出發(fā)后x秒時(shí)，四邊形APOQ為正方形，
則DP=AQ=x；AP=4-x，
∵正方形APOQ，
∴AP=PO=AQ，
∴4-x=x，
解得：x=2．
故當(dāng)P、Q出發(fā)后2秒時(shí)，四邊形APOQ為正方形；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴DO=OA，∠PDO=∠OAB=45°，
又∵PD=AQ，
∴△AQO≌△DPO（SAS），
∴S_△AQO=S_△DPO，
設(shè)P、Q出發(fā)后a秒時(shí)，S_△PQO=

5

32

S_{正方形ABCD}，
∴AP=4-a，AQ=PD=a，
S_△POQ=S_{四邊形APOQ}-S_△APQ=S_△ADO-S_△APQ=

1

2

AO•DO-

1

2

a（4-a），
∵△ADO是等腰直角三角形，
∴AO=DO，
∵AD=4，
∴AO=DO=4×sin45°=4×

2

2

=2

2

，
∴

1

2

AO•DO=

1

2

×2

2

×2

2

=4，
∴4-

1

2

a（4-a）=

5

32

×4×4，
解得：a=1或3，
故當(dāng)P、Q出發(fā)后1或3秒時(shí)，S_△PQO=

5

32

S_{正方形ABCD}．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，以及一元二次方程的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是推出△ADO的面積與四邊形APOQ的面積相等，從而得到△POQ的面積等于△ADO的面積與△APQ的面積差．