【題目】如圖,△ABC中,AB=5cm,BC=3cm,AC=4cm,若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始,按C→A→B的路徑運(yùn)動(dòng),且速度為每秒2cm,設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒
(1)請(qǐng)判斷△ABC的形狀,說(shuō)明理由.
(2)當(dāng)t= 時(shí),△BCP是以BC為腰的等腰三角形.
(3)另有一點(diǎn)Q,從點(diǎn)C開始,按C→B→A→C的路徑運(yùn)動(dòng),且速度為每秒1cm,若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)t為何值時(shí),P、Q兩點(diǎn)之間的距離為?
【答案】(1)△ABC是直角三角形,理由見解析;
(2)t=1.5或2.7或3;
(3)t=1或t=
【解析】試題分析:(1)直接利用勾股定的逆定理得出△ABC是直角三角形;
(2)由于動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始,按C→A→B的路徑運(yùn)動(dòng),故應(yīng)分點(diǎn)P在AC上與AB上兩種情況進(jìn)行討論;
(3)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)之間的距離為時(shí),分三種情況討論:點(diǎn)P在AC上,點(diǎn)Q在BC上;點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè);點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè),分別求得t的值并檢驗(yàn)即可.
試題解析:(1)∵AB=5,BC=3,AC=4
∴AC2+BC2= AB2
∴△ABC是直角三角形
(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí),CP=CB=3,則t=3÷2=1.5秒;
如圖,當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí),分兩種情況:
若BP=BC=3,則AP=2,
故t=(4+2)÷2=3秒;
若CP=CB=3,作CM⊥AB于M,則
×AB×MC=×BC×AC,
×5×MC=×3×4,
解得CM=2.4,
∴由勾股定理可得PM=BM=1.8,即BP=3.6,
∴AP=1.4,
故t=(4+1.4)÷2=2.7秒.
綜上所述,當(dāng)t=1.5、3或2.7時(shí),△BCP是以BC為腰的等腰三角形。
故答案為:t=1.5或2.7或3;
(3)①如圖,當(dāng)點(diǎn)P在AC上,點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)(0t2),
由勾股定理可得:(2t) +t=5,
解得t=1;
②如圖,當(dāng)點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時(shí)(3t<4),
由題可得:12-3t=,
解得t=;
③當(dāng)點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)(4<t4.5),
由題可得:2t+t12=,
解得t=,
∵t=>4.5,
∴不成立,舍去.
綜上所述,當(dāng)t為1秒或秒時(shí),P、Q兩點(diǎn)之間的距離為.
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