Question

7．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在AB的延長線上，點(diǎn)G在邊AD上，EF=nAB，DG=nAE，連接DE，F(xiàn)G相交于點(diǎn)H．
（1）若n=1，如圖1，求∠EHF的度數(shù)；
（2）若n=$\frac{1}{2}$，如圖2，求tan∠EHF的值．

Answer 1

分析 （1）連接FC和CG（如圖1），先證明△AED≌△DGC，同理△FBC≌△EAD，再證明△GFC是等腰直角三角形即可．
（2）如圖2，過點(diǎn)F作FM∥ED交CD于M，連接GM，先證明△DGM∽△AED，得∠ADE=∠DMG，$\frac{GM}{DB}$=$\frac{DG}{AE}$=$\frac{1}{2}$，再證明△FMG是直角三角形即可．

解答 解：（1）連接FC和CG（如圖1），
∵四邊形ABCD為正方形，AE=BF=GD，
∴AB=BC=DC=AD，∠A=∠ABC=∠FBC=∠CDG=90°，
在△EAD和△GDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DG}\\{∠A=∠GDC}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DGC（SAS），
同理△FBC≌△EAD．
∴CF=GC，∠AED=∠BFC，∠BCF=∠DCG，
∴ED∥FC，
∴∠EHF=∠GFC，
又∵∠BCD=90°=∠BCG+∠GCD=∠BCG+∠BCF=∠GCF，
∴△GCF是等腰直角三角形，
∴∠GFC=∠FGC=45°，
∴∠EHF=45°；（4分）
（2）如圖2，過點(diǎn)F作FM∥ED交CD于M，連接GM．
∵正方形ABCD中，AB∥CD，
∴四邊形EFMD為平行四邊形．
∴EF=DM，DE=FM．
∴∠3=∠4，∠EHF=∠HFM=α．
∵EF=$\frac{1}{2}$CD，GD=$\frac{1}{2}$AE，
∴$\frac{GD}{AE}=\frac{DM}{AD}$．
∵∠A=∠GDM=90°，
∴△DGM∽△AED．
∴∠ADE=∠DMG，$\frac{GM}{DB}$=$\frac{DG}{AE}$=$\frac{1}{2}$
∵∠DMG+∠MGD=90°，
∴∠ADE+∠DGM=90°，
∴GM⊥DE，∵ED∥FM，
∴GM⊥FM，∠EHF=∠GFM，
∴tan∠GFM=$\frac{GM}{FM}$=$\frac{GM}{DE}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考�？碱}型．