Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一動點(diǎn)，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)．

（1）求證：四邊形PMEN是平行四邊形；

（2）請直接寫出當(dāng)AP為何值時(shí)，四邊形PMEN是菱形；

（3）四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能，求出AP的長；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）四邊形PMEN是菱形；（3）當(dāng)AP=2或AP=8時(shí)，四邊形PMEN是矩形

【解析】試題分析：

⑴根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定定理即可證明.

⑵當(dāng)DP=CP時(shí)，四邊形PMEN是菱形，P是AB的中點(diǎn)，所以可求出AP的值.

⑶四邊形PMEN是矩形的話，∠DPC必須為90°，那么判斷一下△DPC是不是直角三角形即可.

試題解析：

（1）∵ M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)，

∴ ME是PC的中位線，NE是PD的中位線，

∴ ME∥PC，EN∥PD，

∴ 四邊形PMEN是平行四邊形；

（2）當(dāng)AP=5時(shí)，

在Rt△ PAD和Rt△ PBC中，

，

∴ △ PAD≌ △ PBC，

∴ PD=PC，

∵ M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)，

∴ NE=PM=PD，ME=PN=PC，

∴ PM=ME=EN=PN，

∴ 四邊形PMEN是菱形；

（3）四邊形PMEN可能是矩形．

若四邊形PMEN是矩形，則∠ DPC=90°.

設(shè)PA=x，PB=10﹣x，

DP=，CP=．

DP2+CP2=DC2

16+x2+16+（10﹣x）2=102

x2﹣10x+16=0

x=2或x=8．

故當(dāng)AP=2或AP=8時(shí)，四邊形PMEN是矩形．