Question

【題目】（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形.是否存在點(diǎn)P，使四邊形為菱形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3） ， .

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法，將B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求得待定系數(shù)的值，問題就可得解；

（2）作PE⊥CO于E，由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點(diǎn)必在OC的垂直平分線上，據(jù)此，可求出直線PE的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）由于△ABC的面積為定值，當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí)，△BPC的面積最大，過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標(biāo)，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此，可得到關(guān)于四邊形ACPB的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABPC的最大面積及對應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析：（1）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得

解之，得

所以二次函數(shù)的解析式為.

（2）如圖1，假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P，使四邊形為菱形，連接交CO于點(diǎn)E．

∵四邊形為菱形，

∴PC=PO，且PE⊥CO．

∴OE=EC=，即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

由=，得

（不合題意，舍去）

所以存在這樣的點(diǎn)，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（， ）.

（3）如圖2，連接PO，作PM⊥x于M，PN⊥y于N．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x， ），

由=0，得點(diǎn)A坐標(biāo)為（－1，0）.

∴AO=1，OC=3， OB=3，PＭ=，PN＝x．

∴S四邊形ABPC=++

=AO·OC+OB·PM+OC·PN

=×1×3+×3×()+×3×x

=

=.

易知，當(dāng)x=時(shí)，四邊形ABPC的面積最大．此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（， ），四邊形ABPC的最大面積為.