Question

【題目】定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑，即損矩形外接圓的直徑．如圖，△ABC中，∠ABC=90°，以AC為一邊向形外作菱形ACEF，點D是菱形ACEF對角線的交點，連接BD．若∠DBC=60°，∠ACB=15°，BD=，則菱形ACEF的面積為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖1，取AC的中點G，連接BG、DG，
，
∵四邊形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF，
∴∠ADC=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴A、B、C、D四點共圓，點G是圓心，
∴∠ACD=∠ABD=90°﹣∠DBC=90°﹣60°=30°，
∵∠AGB=15°×2=30°，∠AGD=30°×2=60°，
∴∠BGD=30°+60°=90°，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴BG=DG=，
∴AC=2，
∴AD=2，
∴，
∴菱形ACEF的面積為：
3
=
=12
所以答案是：12．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解菱形的性質的相關知識，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半，以及對圓周角定理的理解，了解頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．