Question

如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上的一點(diǎn)，且∠BAC＝30º，∠APB＝60º.

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，求弦AB及PA，PB的長.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）2

【解析】

試題分析：（1）連接OB，證PB⊥OB．根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，結(jié)合已知條件可得∠OBP=90°得證；

（2）連接OP，根據(jù)切線長定理得直角三角形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果。

（1）連接OB．

∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=30°．               

∴∠AOB=80°-30°-30°=20°．             

∵PA切⊙O于點(diǎn)A，∴OA⊥PA，

∴∠OAP=90°．

∵四邊形的內(nèi)角和為360°，

∴∠OBP=360°-90°-60°-20°=90°．        

∴OB⊥PB．

又∵點(diǎn)B是⊙O上的一點(diǎn)，

∴PB是⊙O的切線．                           

（2）連接OP，

∵PA、PB是⊙O的切線，

∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=，∠APB=30°．          

在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，

∴OP=2OA=2×2=4．                            

∴PA=OP²-OA²=2

     ∵PA=PB，∠APB=60°，

∴PA=PB=AB=2。

考點(diǎn)：此題考查了切線的判定、切線長定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)

點(diǎn)評：要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．