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(2010•舟山模擬)如圖,在菱形ABCD中,AB=2cm,∠BAD=60°,E為CD邊中點,點P從點A開始沿AC方向以每秒cm的速度運動,同時,點Q從點D出發(fā)沿DB方向以每秒1cm的速度運動,當點P到達點C時,P,Q同時停止運動,設運動的時間為x秒.
(1)當點P在線段AO上運動時.
①請用含x的代數(shù)式表示OP的長度;
②若記四邊形PBEQ的面積為y,求y關于x的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量的取值范圍);
(2)顯然,當x=0時,四邊形PBEQ即梯形ABED,請問,當P在線段AC的其他位置時,以P,B,E,Q為頂點的四邊形能否成為梯形?若能,求出所有滿足條件的x的值;若不能,請說明理由.

【答案】分析:(1)①根據(jù)菱形的性質求出OA的長度,再求出AP的長等于2x,OP的長即可求出;
②過E作EH⊥BD于H,表示出BQ的長等于2-x,分別求出△BPQ和△BEQ的面積,兩個三角形的面積之和就是四邊形PBEQ的面積為y.(2)根據(jù)梯形的定義,可以分三種情況討論:
①PQ∥BE時,因為∠EBQ=30°,所以∠PQO=30°,再利用∠PQO的正切值列出算式即可求解,
②PE∥BQ時,因為點E是CD的中點,所以點P是CO的中點,根據(jù)AP的長度等于速度乘以時間列出算式即可求出;
③EQ∥BP時,過E作EH⊥DO,垂足為H,得到△QEH與△BPO相似,再根據(jù)相似三角形對應邊成比例列出等式即可求出x的值.
解答:解:(1)①由題意得∠BAO=30°,AC⊥BD,
∵AB=2,
∴OB=OD=1,OA=OC=,
∴OP=,(2分)
②過點E作EH⊥BD,則EH為△COD的中位線,
,
∵DQ=x,
∴BQ=2-x,
∴y=S△BPQ+S△BEQ=×(2-x)(-2x)+×(2-x)×,
=;(3分)

(2)能成為梯形,分三種情況:

①當PQ∥BE時,∠PQO=∠DBE=30°,
,

∴x=,
此時PB不平行QE,
∴x=時,四邊形PBEQ為梯形.(2分)

②當PE∥BQ時,P為OC中點,

∴AP=,即
,
此時,BQ=2-x=≠PE,
∴x=時,四邊形PEQB為梯形.(2分)



當EQ∥BP時,過E作EH⊥DO,垂足為H,
∴△QEH∽△BPO,

,
∴x=1(x=0舍去),
此時,BQ不平行于PE,
∴x=1時,四邊形PEQB為梯形.(2分)
綜上所述,當x=或1時,以P,B,E,Q為頂點的四邊形是梯形.
點評:本題考查菱形的性質及梯形的判定方法,熟練掌握性質和定義是解本題的關鍵.本題還要注意說明以P,B,E,Q為頂點的四邊形是梯形時,因為底邊不確定,所以一定要分情況討論.
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