Question

如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點(diǎn)O，AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，連接CD、OD，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AC∥OD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④2CD²=CE•AB．其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，利用等量代換求證∠CAD=∠ADO即可；
②過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得OE=EF，再根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可證；
③兩三角形中，只有一個(gè)公共角的度數(shù)相等，其它兩角不相等，所以不能證明③△ODE∽△ADO；
④根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，求出∠COD=45°，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠CDE=45°，再求證△CED∽△CDO，利用其對(duì)應(yīng)變成比例即可得出結(jié)論．

解答：解：①∵AB是半圓直徑，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，
∴∠CAD=∠DAO=

1

2

∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴①正確．
②過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，
∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，
∴OE=EF，
在Rt△EFC中，CE＞EF，
∴CE＞OE，
∴②錯(cuò)誤．
③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，
∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD，
∴∠DOE≠∠DAO，
∴不能證明△ODE和△ADO相似，
∴③錯(cuò)誤；
④∵AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，
∴∠CAD=

1

2

×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圓直徑，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已證），
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△CDO，
∴

CD

CO

=

CE

CD

，
∴CD²=OC•CE=

1

2

AB•CE，
∴2CD²=CE•AB．
∴④正確．
綜上所述，只有①④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用，此題步驟繁瑣，但相對(duì)而言，難易程度適中，很適合學(xué)生的訓(xùn)練是一道典型的題目．