(2013•金平區(qū)模擬)如圖,拋物線y=ax2+
13
x+c
(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A(-3,0)、B(4,0)兩點(diǎn).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)M在線段AB上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)N在線段AC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0<t<3.5),試求出四邊形BCNM的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式.當(dāng)t為何值時(shí),S的值最小,最小值是多少?
(3)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上,點(diǎn)Q在拋物線上,在(2)的條件下,當(dāng)四邊形BCNM的面積S最小時(shí),是否存在這樣的點(diǎn)P與點(diǎn)Q,使以P,Q,B,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不寫(xiě)求解過(guò)程);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)將A(-3,0)、B(4,0)兩點(diǎn)代入拋物線y=ax2+
1
3
x+c
(a≠0),即可聯(lián)立兩式求出a,c的值,從而求出該拋物線的解析式;
(2)依題意,得AM=2t,CN=t,根據(jù)勾股定理可求AC,表示出AN,作ND⊥OA于點(diǎn)D,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可表示出DN,根據(jù)三角形的面積即可得到四邊形BCNM的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式,配方后可求S的最小值;    
(3)利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合圖形得出若以BN為對(duì)角線以及以BN為一邊時(shí),分別得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可.
解答:解:(1)拋物線y=ax2+
1
3
x+c
經(jīng)過(guò)A(-3,0)、B(4,0)兩點(diǎn),則
0=9a-1+c
0=16a+
4
3
+c

解得
a=-
1
3
c=4

故拋物線的解析式為y=-
1
3
x2+
1
3
x+4
;       
                  
(2)依題意,得AM=2t,CN=t,
∵OC=4,OA=3,∠AOC=90°,
∴AC=
OC2+OA2
=
42+32
=5
,
∴AN=AC-CN=5-t,
作ND⊥OA于點(diǎn)D,
∵OC⊥OA,
∴ND∥OC,
DN
OC
=
AN
AC
,
∴DN=
AN•OC
AC
=
4
5
(5-t)

∴S=S△ABC-S△AMN
=
1
2
AB•OC-
1
2
AM•DN

=
1
2
×7×4-
1
2
×2t×
4
5
(5-t)

=
4
5
t2-4t+14
,
S=
4
5
(t-
5
2
)2+9
,
∴當(dāng)t=
5
2
時(shí),S的最小值是9;    
                          
(3)如圖,存在,
若以BN為對(duì)角線,N點(diǎn)坐標(biāo)為(-
3
2
,2),則Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4-(
1
2
+
3
2
)=2,當(dāng)x=2時(shí),y=-
1
3
×22+
1
3
×2+4=3
1
3
,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2-3
1
3
=-
4
3
,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
1
2
,-
4
3
);
若以BN為一邊,則Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
1
2
-(4+
3
2
)=-5,當(dāng)x=-5時(shí),y=-
1
3
×(-5)2+
1
3
×(-5)+4=-6,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-6+2=-4,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
1
2
,-4);
若以BN為一邊,則Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
1
2
+(4+
3
2
)=6,當(dāng)x=6時(shí),y=-
1
3
×62+
1
3
×6+4=-6,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-6-2=-8,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
1
2
,-8).
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
1
2
,-
4
3
)、(
1
2
,-4)、(
1
2
,-8).
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)與判定和三角形面積求法等知識(shí),根據(jù)已知結(jié)合圖形以及利用分類(lèi)討論思想得出是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•金平區(qū)模擬)木工師傅在做完門(mén)框后,為防止變形常常像圖中所示那樣釘上兩條斜拉的木板條(即圖中的AB和CD),這樣做的根據(jù)是(  )

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•金平區(qū)模擬)一次函數(shù)y=-2x+4的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•金平區(qū)模擬)一個(gè)自然數(shù)的立方,可以分裂成若干個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和.例如:23,33和43分別可以按如圖所示的方式“分裂”成2個(gè)、3個(gè)和4個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和,即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;…;若73也按照此規(guī)律來(lái)進(jìn)行“分裂”,則73“分裂”出的奇數(shù)中,最大的奇數(shù)是
55
55

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•金平區(qū)模擬)計(jì)算:
12
4
-(π-
1
2
)0-sin60°+3-1

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•金平區(qū)模擬)如圖1,在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB=2
5
,點(diǎn)C、點(diǎn)D分別在OA、OB上,OC=OD=2.如圖2,Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ(0°<θ<90°),得到△OMN.連接DN,若ND⊥OD,ON與CD交于點(diǎn)E.
(1)求tanθ的值;
(2)求DE的長(zhǎng);
(3)延長(zhǎng)DC交MN于點(diǎn)F,連接OF,請(qǐng)你確定線段OF與線段MN的關(guān)系,并說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案