Question

如圖，在⊙O 中，直徑AB交弦ED于點G，EG=DG，⊙O的切線BC交DO的延長線于點C，F(xiàn)是DC與⊙O的交點，連結(jié)AF．

（1）求證：DE∥BC；

（2）若OD=1，CF=，求AF的長．

Answer 1

（1）證明略；（2）

【解析】

試題分析：（1）有切線的性質(zhì)得到∠ABC = 90°，又AB平分弦DE得到∠A GE= 90°，最后根據(jù)平行線的判定即可；

（2）連接DB，AD.可以證出 △DGO∽△CBO，根據(jù)對應(yīng)邊成比例可以求出OG、DG；再證明△ADG∽△ADB求出AD，即可在△ADF中應(yīng)用勾股定理求出AF.

試題解析：（1）證明：∵ BC為⊙O的切線，AB為直徑, ∴ ∠ABC = 90°.

∵ AB平分弦DE, ∴ ∠A GE= 90°. ∴ DE∥BC.

（2）連接DB，AD.∵AB是⊙O的直徑， ∴ ∠ADB = 90°.∵ DE∥ BC,

∴ △DGO∽△CBO ∴,

∵ OD = 1,CF=；

∴OC=,∴∴OG=,

∴AG=. ∵∠ADB=∠AGD= 90°，

∴ △ADG∽△ADB，∴AD2=AG.AB, ∵AG=，AB=2.

∴AD=，又∵ DF為⊙O直徑,∴∠FAD = 90°,

∵DF=2，∴AF=.

考點：平行線的判定，相似三角形的性質(zhì)，圓周角和切線的性質(zhì).