Question

【題目】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)M在AB上，且滿足△PBC∽△PAM，延長(zhǎng)BP交AD于點(diǎn)N，連結(jié)CM．

（1）如圖一，若點(diǎn)M在線段AB上，求證：AP⊥BN；AM=AN；

（2）①如圖二，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，滿足△PBC∽△PAM的點(diǎn)M在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AP⊥BN和AM=AN是否成立？

②是否存在滿足條件的點(diǎn)P，使得PC=？（不需說(shuō)明理由）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①仍然成立，AP⊥BN和AM=AN． ②這樣的點(diǎn)P不存在．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠PAM=∠PBC，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，得到AP⊥BN，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比線段求出AM與AN的數(shù)量關(guān)系；

（2）①同（1）的證明方法類似；

②根據(jù)圓周角定理得到點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．

試題解析：（1）如圖一中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，

∵△PBC∽△PAM，∴∠PAM=∠PBC， ，∴∠PBC+∠PBA=90°，∴∠PAM+∠PBA=90°，

∴∠APB=90°，∴AP⊥BN，∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，

∴△BAP∽△BNA，∴，∴，∵AB=BC，∴AN=AM．

（2）①仍然成立，AP⊥BN和AM=AN．

理由如圖二中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，

∵△PBC∽△PAM， ∴∠PAM=∠PBC， ，∴∠PBC+∠PBA=90°，

∴∠PAM+∠PBA=90°， ∴∠APB=90°，∴AP⊥BN，∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，

∴△BAP∽△BNA，∴，∴，∵AB=BC，∴AN=AM．

②這樣的點(diǎn)P不存在．理由：假設(shè)PC=，如圖三中，以點(diǎn)C為圓心為半徑畫圓，以AB為直徑畫圓， CO= = ＞1+，∴兩個(gè)圓無(wú)公共點(diǎn)，∴∠APB＜90°，這與AP⊥PB矛盾，

∴假設(shè)不可能成立，∴滿足PC=的點(diǎn)P不存在．