Question

【題目】如圖，已知BC是⊙O的直徑，點D為BC延長線上的一點，點A為圓上一點，且AB=AD，AC=CD．
（1）求證：△ACD∽△BAD；
（2）求證：AD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=AD，

∴∠B=∠D，

∵AC=CD，

∴∠CAD=∠D，

∴∠CAD=∠B，

∵∠D=∠D，

∴△ACD∽△BAD

（2）證明：連接OA，

∵OA=OB，

∴∠B=∠OAB，

∴∠OAB=∠CAD，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC=90°，

∴OA⊥AD，

∴AD是⊙O的切線．

【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAD=∠B，由于∠D=∠D，于是得到△ACD∽△BAD；（2）連接OA，根據(jù)的一句熟悉的性質(zhì)得到∠B=∠OAB，得到∠OAB=∠CAD，由BC是⊙O的直徑，得到∠BAC=90°即可得到結(jié)論．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解切線的判定定理(切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線)，還要掌握相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．