【題目】如圖,點A,P,B,C是⊙O上的四個點,∠DAP=∠PBA.
(1)求證:AD是⊙O的切線;
(2)若∠APC=∠BPC=60°,試探究線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關系,并證明你的結論;
(3)在第(2)問的條件下,若AD=2,PD=1,求線段AC的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)PA+PB=PF+FC=PC;(3)1+.
【解析】
(1)欲證明AD是⊙O的切線,只需推知AD⊥AE即可;
(2)首先在線段PC上截取PF=PB,連接BF,進而得出△BPA≌△BFC(AAS),即可得出PA+PB=PF+FC=PC;
(3)利用△ADP∽△BDA,得出==,求出BP的長,進而得出△ADP∽△CAP,則=,則AP2=CPPD求出AP的長,即可得出答案.
(1)證明:先作⊙O的直徑AE,連接PE,
∵AE是直徑,
∴∠APE=90°.
∴∠E+∠PAE=90°.
又∵∠DAP=∠PBA,∠E=∠PBA,
∴∠DAP=E,
∴∠DAP+∠PAE=90°,即AD⊥AE,
∴AD是⊙O的切線;
(2)PA+PB=PC,
證明:在線段PC上截取PF=PB,連接BF,
∵PF=PB,∠BPC=60°,
∴△PBF是等邊三角形,
∴PB=BF,∠BFP=60°,
∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°,
∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°,
∴∠BPA=∠BFC,
在△BPA和△BFC中,
,
∴△BPA≌△BFC(AAS),
∴PA=FC,AB=CB,
∴PA+PB=PF+FC=PC;
(3)∵△ADP∽△BDA,
∴==,
∵AD=2,PD=1,
∴BD=4,AB=2AP,
∴BP=BD﹣DP=3,
∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°,
∴∠APD=∠APC,
∵∠PAD=∠E,∠PCA=∠E,
∴∠PAD=∠PCA,
∴△ADP∽△CAP,
∴=,
∴AP2=CPPD,
∴AP2=(3+AP)1,
解得:AP=或AP=(舍去),
由(2)知△ABC是等邊三角形,
∴AC=BC=AB=2AP=1+.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示的四枚郵票圖片形狀完全相同,分別是我國代科學家祖沖之、李時珍、張衡、僧一行.把四張圖片混合在一起.
(1)若隨機摸取一張圖片,則摸到“祖沖之”圖片的概率是__________;
(2)若隨機摸取一張圖片然后放回,再隨機摸取一張圖片,利用列表或樹狀圖求兩次至少有一次摸到“祖沖之”圖片的概率;
(3)小東、小西、小南、小北四位同學依次摸取圖片,若小東摸到“祖沖之”圖片,則剩下三人中( )
A.小西摸到“李時珍”圖片的概率大 B.小南摸到“李時珍”圖片的概率大
C.小北摸到“李時珍”圖片的概率大 D.三人摸到“李時珍”圖片的概率一樣大
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的頂點B在x軸上,點A、點C在雙曲線y=(k>0,x>0)上.若直線BC的解析式為y=x﹣2,則k的值為( )
A.24B.12C.6D.4
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,取BC邊中點E,作ED∥AB,EF∥AC,得到四邊形EDAF,它的面積記作S1;取BE中點E1,作E1D1∥FB,E1F1∥EF,得到四邊形E1D1FF1,它的面積記作S2,照此規(guī)律作下去,則S1=_______,S2017=____________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某化工廠要在規(guī)定時間內(nèi)搬運1200噸化工原料.現(xiàn)有,兩種機器人可供選擇,已知型機器人比型機器人每小時多搬運30噸型,機器人搬運900噸所用的時間與型機器人搬運600噸所用的時間相等.
(1)求兩種機器人每小時分別搬運多少噸化工原料.
(2)該工廠原計劃同時使用這兩種機器人搬運,工作一段時間后,型機器人又有了新的搬運任務需離開,但必須保證這批化工原料在11小時內(nèi)全部搬運完畢.問型機器人至少工作幾個小時,才能保證這批化工原料在規(guī)定的時間內(nèi)完成?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點D在AB的延長線上,C、E是⊙O上的兩點,CE=CB,∠BCD=∠CAE,延長AE交BC的延長線于點F.
求證:(1)CD是⊙O的切線;
(2)CE=CF;
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第二、四象限內(nèi)的兩點,與軸交于點,與軸交于點,點的坐標是,連接,且.
(1)求這個反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象,直接寫出不等式的解集.
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