Question

已知二次函數(shù)

（1）求證：無(wú)論a為任何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象與x軸

總有兩個(gè)交點(diǎn).

（2）當(dāng)x≥2時(shí)，函數(shù)值隨的增大而減小，求的取

值范圍.

（3）以二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為一個(gè)頂點(diǎn)作該二次函數(shù)圖象的內(nèi)接正三角形（M，N兩點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上），請(qǐng)問(wèn)：△的面積是與a無(wú)關(guān)的定值嗎？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

 

（1）見(jiàn)解析

（2）

（3）見(jiàn)解析

解析:解：（1）

 無(wú)論a為何實(shí)數(shù) …………………………(1分)

∴拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)……………………………………(2分)

（2）

       ……………………………………(3分)

∴由題意得，（只寫(xiě)<或=其一，不給分）    ……………(4分)

（3）解法一：以二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為一個(gè)頂點(diǎn)作

該二次函數(shù)圖象的內(nèi)接正三角形（，兩點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上），

這個(gè)正三角形的面積只與二次函數(shù)圖形的開(kāi)口大小有關(guān)。

二次函數(shù)的圖象可以看做是

二次函數(shù)的圖象通過(guò)平移得到的。

如圖，正三角形的面積等于正三角形的面積.因此，與a的取值無(wú)關(guān)

點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上

，，，

,

點(diǎn)在的圖象上，

 

舍去

                     ,

. 

正三角形AMN的面積是與a無(wú)關(guān)的定值,定值為.

解法二：根據(jù)拋物線和正三角形的對(duì)稱(chēng)性，可知軸，

設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與交于點(diǎn)，則

設(shè)

∴

又=

∴       ∴

∴                    

                          

∴  

∴正三角形AMN的面積是與a無(wú)關(guān)的定值