Question

如圖，y關(guān)于x的二次函數(shù)y=-（x+m）（x-3m）圖象的頂點(diǎn)為M，圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸正半軸于D點(diǎn)．以AB為直徑作圓，圓心為C．定點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3，0），連接ED．（m＞0）
（1）寫(xiě)出A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)M點(diǎn)在直線(xiàn)ED上？判定此時(shí)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；
（3）當(dāng)m變化時(shí)，用m表示△AED的面積S，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出S關(guān)于m的函數(shù)圖象的示意圖．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)x軸，y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征代入即可求出A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）待定系數(shù)法先求出直線(xiàn)ED的解析式，再根據(jù)切線(xiàn)的判定得出直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；
（3）分當(dāng)0＜m＜3時(shí)，當(dāng)m＞3時(shí)兩種情況討論求得關(guān)于m的函數(shù)．
解答：解：（1）令y=0，則-（x+m）（x-3m）=0，解得x₁=-m，x₂=3m；
令x=0，則y=-（0+m）（0-3m）=m．
故A（-m，0），B（3m，0），D（0，m）．

（2）設(shè)直線(xiàn)ED的解析式為y=kx+b，將E（-3，0），D（0，m）代入得：

解得，k=，b=m．
∴直線(xiàn)ED的解析式為y=mx+m．
將y=-（x+m）（x-3m）化為頂點(diǎn)式：y=-（x-m）²+m．
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m）．代入y=mx+m得：m²=m
∵m＞0，
∴m=1．所以，當(dāng)m=1時(shí)，M點(diǎn)在直線(xiàn)DE上．
連接CD，C為AB中點(diǎn)，C點(diǎn)坐標(biāo)為C（m，0）．
∵OD=，OC=1，
∴CD=2，D點(diǎn)在圓上
又∵OE=3，DE²=OD²+OE²=12，
EC²=16，CD²=4，
∴CD²+DE²=EC²．
∴∠EDC=90°
∴直線(xiàn)ED與⊙C相切．

（3）當(dāng)0＜m＜3時(shí)，S_△AED=AE．•OD=m（3-m）
S=-m²+m．
當(dāng)m＞3時(shí)，S_△AED=AE•OD=m（m-3）．
即S=m^2_ m．
S關(guān)于m的函數(shù)圖象的示意圖如右：
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識(shí)點(diǎn)有x軸，y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線(xiàn)解析式的確定，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．注意分析題意分情況討論結(jié)果．