Question

19．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，tanA=$\frac{3}{4}$，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，AD=8，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，EA為半徑作圓，經(jīng)過點(diǎn)D，點(diǎn)F是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F不與A、C重合），作FG⊥EF，交射線BC于點(diǎn)G．
（1）用直尺圓規(guī)作出圓心E，并求圓E的半徑長（保留作圖痕跡）；
（2）當(dāng)點(diǎn)G的邊BC上時(shí)，設(shè)AF=x，CG=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）聯(lián)結(jié)EG，當(dāng)△EFG與△FCG相似時(shí)，推理判斷以點(diǎn)G為圓心、CG為半徑的圓G與圓E可能產(chǎn)生的各種位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由于ED=EA，因此點(diǎn)E在線段AD的垂直平分線上，因而線段AD的垂直平分線與線段AB的交點(diǎn)即為圓心E（如圖1），然后只需解Rt△EHA就可解決問題；
（2）如圖2，易證△GCF∽△FHE，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題；
（3）由于點(diǎn)G在射線BC上，故需分點(diǎn)G在線段BC上（如圖2、圖3），點(diǎn)G在線段BC的延長線上（如圖4），然后只需求出CG和GE就可解決問題．

解答 解：（1）作線段AD的垂直平分線，交AB于E，交AC于H，如圖1，

點(diǎn)E即為所求作．
在Rt△EHA中，AH=$\frac{1}{2}$AD=4，tanA=$\frac{3}{4}$，
∴EH=AH•tanA=4×$\frac{3}{4}$=3，AE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∴圓E的半徑長為5；

（2）當(dāng)點(diǎn)G的邊BC上時(shí)，如圖2所示．
∵∠C=90°，F(xiàn)G⊥EF，EH⊥AC，
∴∠C=∠EHF=90°，∠CFG=∠FEH=90°-∠EFH，
∴△GCF∽△FHE，
∴$\frac{CG}{CF}$=$\frac{HF}{HE}$，
∴$\frac{y}{14-x}$=$\frac{x-4}{3}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x²+6x-$\frac{56}{3}$（4≤x＜14）；

（3）①當(dāng)點(diǎn)G在BC上時(shí)，
Ⅰ．當(dāng)∠FGE=∠CGF時(shí)，
過點(diǎn)E作EN⊥BC于N，如圖2，
∵∠C=∠GFE=90°，
∴△GCF∽△GFE，
∴$\frac{GF}{FE}$=$\frac{GC}{FC}$．
∵△GCF∽△FHE，
∴$\frac{GF}{FE}$=$\frac{GC}{FH}$，
∴$\frac{GC}{FC}$=$\frac{GC}{FH}$，
∴FC=FH=$\frac{1}{2}$CH=$\frac{1}{2}$（14-4）=5，
∴x=AF=5+4=9，
∴y=CG=$\frac{25}{3}$，
∴r_G=GC=$\frac{25}{3}$，r_E=5．
∴GN=$\frac{25}{3}$-3=$\frac{16}{3}$，EN=CH=10，
∴EG=$\sqrt{G{N}^{2}+E{N}^{2}}$=$\frac{34}{3}$，
∴r_G-r_E＜GE＜r_G+r_E，
∴⊙E與⊙G相交；
Ⅱ．當(dāng)∠FGE=∠CFG時(shí)，如圖3，

則有GE∥AC，
∵∠C=∠AHE=90°，∴CG∥EH，
∴四邊形CGEH是矩形，
∴r_G=CG=EH=3，GE=CH=10，
∴GE＞r_E+r_G，
∴⊙E與⊙G外離；
②當(dāng)點(diǎn)G在BC延長線上時(shí)，設(shè)GE交AC于M，如圖4，

∵∠EHF=∠GCF=90°，∠GFC=∠HEF=90°-∠HFE，
∴△EHF∽△FCG，
∴$\frac{EH}{FC}$=$\frac{HF}{CG}$，
∴$\frac{3}{14-x}$=$\frac{4-x}{y}$，
∴y=$\frac{1}{3}$（x-4）（x-14）．
∵∠FGE=∠CFG，∠FGE+∠MEF=90°，∠GFM+∠MFE=90°，
∴MG=MF，∠MEF=∠MFE，
∴ME=MF，∴MG=ME．
在△GCM和△EHM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GCM=∠EHM}\\{∠GMC=∠EMH}\\{MG=ME}\end{array}\right.$
∴△GCM≌△EHM，
∴CG=HE=3，CM=MH=5，
∴r_G=3，EG=2GM=2$\sqrt{34}$，
∴GE＞r_G+r_E，
∴⊙E與⊙G外離．
綜上所述：當(dāng)△EFG與△FCG相似時(shí)，⊙E與⊙G相交或外離．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓與圓的位置關(guān)系、三角函數(shù)的定義、勾股定理等知識(shí)，正確進(jìn)行分類是解決第（3）小題的關(guān)鍵．