【題目】ABC和△DBE是繞點B旋轉(zhuǎn)的兩個相似三角形,其中∠ABC與∠DBE、∠A與∠D為對應角.

(1)如圖①,若△ABC和△DBE分別是以∠ABC與∠DBE為頂角的等腰直角三角形,且兩三角形旋轉(zhuǎn)到使點B、C、D在同一條直線上的位置時,請直接寫出線段AD與線段EC的關(guān)系;

(2)若△ABC和△DBE為含有30°角的直角三角形,且兩個三角形旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置時,試確定線段AD與線段EC的關(guān)系,并說明理由;

(3)若△ABC和△DBE為如圖③的兩個三角形,且∠ACBα,∠BDEβ,在繞點B旋轉(zhuǎn)的過程中,直線ADEC夾角的度數(shù)是否改變?若不改變,直接用含α、β的式子表示夾角的度數(shù);若改變,請說明理由.

【答案】(1)線段AD與線段CE的關(guān)系是ADECADEC;(2)ADCE,理由詳見解析; (3)直線ADEC夾角的度數(shù)不改變,且夾角度數(shù)為(180-αβ).

【解析】

(1)連接AD、CE,然后證得ABD≌△BCE,根據(jù)所得的等角和等邊來判斷ADEC的關(guān)系.
(2)連接AD、EC并延長,設交點為點F,根據(jù)已知條件,易證得ABD∽△CBE,得ABBCBDBE,而∠1、2同為∠3的余角,則可證得ABDCBE,得∠5=7+30°,而∠6=120°-5,由此可證得∠7+6=90°,即ADCE
(3)根據(jù)上面的求解過程可知:在繞點B旋轉(zhuǎn)的過程中,直線ADEC夾角的度數(shù)不改變,解題思路和方法同(2).

解:(1)線段AD與線段CE的關(guān)系是ADEC,ADEC;

(2)如圖②,連接AD、EC并延長,設交點為點F,∵△ABC∽△DBE,=

=.∵∠ABCDBE=90°,∴∠1+3=90°,2+3=90°,∴∠1=2,

∴△ABD∽△CBE.=.RtACB中,∠ACB=30°,tanACB,tan30°=,.

∵∠DBE=90°,DEB=30°,∴∠4=60°,∴∠5+6=120°.∵△ABD∽△CBE∴∠5=CEB=30°+7,∴∠7=5-30°,6=120°-5,∴∠7+6=90°,∴∠DFE=90°ADCE;

(3)在繞點B旋轉(zhuǎn)的過程中,直線ADEC夾角的度數(shù)不改變,且夾角度數(shù)為(180-αβ)

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