【題目】(1)觀察猜想:
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D在邊BC上,連接AD,把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)D落在點(diǎn)E處,如圖①所示,則線段CE和線段BD的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 .
(2)探究證明:
在(1)的條件下,若點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上,請(qǐng)判斷(1)中結(jié)論是還成立嗎?請(qǐng)?jiān)趫D②中畫出圖形,并證明你的判斷.
(3)拓展延伸:
如圖③,∠BAC≠90°,若AB≠AC,∠ACB=45°,AC=,其他條件不變,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AD交CE于點(diǎn)F,請(qǐng)直接寫出線段CF長(zhǎng)度的最大值.
【答案】(1)CE=BD,CE⊥BD.(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.理由見(jiàn)解析;(3).
【解析】分析:(1)線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AE,∠BAD=∠CAE,得到△BAD≌△CAE,CE=BD,∠ACE=∠B,得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,于是有CE=BD,CE⊥BD.
(2)證明的方法與(1)類似.
(3)過(guò)A作AM⊥BC于M,EN⊥AM于N,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DAE=90°,AD=AE,利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM,易證得Rt△AMD≌Rt△ENA,則NE=MA,由于∠ACB=45°,則AM=MC,所以MC=NE,易得四邊形MCEN為矩形,得到∠DCF=90°,由此得到Rt△AMD∽Rt△DCF,得,設(shè)DC=x,MD=1-x,利用相似比可得到CF=-x2+1,再利用二次函數(shù)即可求得CF的最大值.
詳解:(1)①∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,
∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE,
∴CE=BD,∠ACE=∠B,
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,
∴BD⊥CE;
故答案為:CE=BD,CE⊥BD.
(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下:
如圖,∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,
∴AE=AD,∠DAE=90°,
∵AB=AC,∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD,
∴△ACE≌△ABD,
∴CE=BD,∠ACE=∠B,
∴∠BCE=90°,即CE⊥BD,
∴線段CE,BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系分別為:CE=BD,CE⊥BD.
(3)如圖3,過(guò)A作AM⊥BC于M,EN⊥AM于N,
∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE
∴∠DAE=90°,AD=AE,
∴∠NAE=∠ADM,
易證得Rt△AMD≌Rt△ENA,
∴NE=AM,
∵∠ACB=45°,
∴△AMC為等腰直角三角形,
∴AM=MC,
∴MC=NE,
∵AM⊥BC,EN⊥AM,
∴NE∥MC,
∴四邊形MCEN為平行四邊形,
∵∠AMC=90°,
∴四邊形MCEN為矩形,
∴∠DCF=90°,
∴Rt△AMD∽Rt△DCF,
∴,
設(shè)DC=x,
∵∠ACB=45°,AC=,
∴AM=CM=1,MD=1-x,
∴,
∴CF=-x2+x=-(x-)2+,
∴當(dāng)x=時(shí)有最大值,CF最大值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的高.點(diǎn)O是AC中點(diǎn),延長(zhǎng)DO到E,使OE=OD,連接AE,CE.
(1)求證:四邊形ADCE是矩形;
(2)若BC=6,∠DOC=60°,求四邊形ADCE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將一副直角三角板按如圖1擺放在直線AD上直角三角板OBC和直角三角板MON,,,,,保持三角板OBC不動(dòng),將三角板MON繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)t秒
如圖2,______度用含t的式子表示;
在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,是否存在t的值,使?若存在,請(qǐng)求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
直線AD的位置不變,若在三角板MON開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的同時(shí),另一個(gè)三角板OBC也繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn).
當(dāng)______秒時(shí),;
請(qǐng)直接寫出在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,與的數(shù)量關(guān)系關(guān)系式中不能含.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將一張直角三角形紙片沿斜邊上的中線剪開,得到,再將沿方向平移到的位置,若從平移開始到點(diǎn)未到達(dá)點(diǎn)時(shí),交于點(diǎn),交于點(diǎn),連結(jié).
(1)試探究的形狀,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)四邊形為菱形時(shí),判斷與是否全等,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知兩個(gè)多項(xiàng)式A=9xy+7xy-x-2,B=3xy-5xy+x+7
(1)求A-3B;
(2)若要使A-3B的值與x的取值無(wú)關(guān),試求y的值;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l:y=kx+h與x軸相交于點(diǎn)A(﹣1,0),與y軸相交于點(diǎn)C,與拋物線y=﹣x2+bx+3的一交點(diǎn)為點(diǎn)D,拋物線過(guò)x軸上的AB兩點(diǎn),且CD=4AC.
(1)求直線l和拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)E是直線l上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),求當(dāng)△ADE面積最大時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)設(shè)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線上,四邊形APDQ能否為矩形?若能,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠EFC+∠BDC=180°,∠DEF=∠B.
(1)求證:∠ADE=∠DEF;
(2)判定 DE 與 BC 的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為進(jìn)一步推廣“陽(yáng)光體育”大課間活動(dòng),某中學(xué)對(duì)已開設(shè)的A實(shí)心球,B立定跳遠(yuǎn),C跑步,D跳繩四種活動(dòng)項(xiàng)目的學(xué)生喜歡情況進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生,并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖1,圖2的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)結(jié)合圖中的信息解答下列問(wèn)題:
(1)請(qǐng)計(jì)算本次調(diào)查中喜歡“跑步”的學(xué)生人數(shù)和所占百分比,并將兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)隨機(jī)抽取了5名喜歡“跑步”的學(xué)生,其中有3名女生,2名男生,現(xiàn)從這5名學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生,請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法,求出剛好抽到同性別學(xué)生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】化簡(jiǎn)與求值
(1)若,則代數(shù)式的值為 .
(2)若,則代數(shù)式的值為 .
(3)若,請(qǐng)仿照以上方法求的值.
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