Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（3，0）、C（0，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-5，0），點(diǎn)P是直線AC上的一動點(diǎn)，直線DP與軸交于點(diǎn)M，問：

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何位置時，直線DP平分矩形OABC的面積，請簡要說明理由，并求出此時直線DP的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動時，是否存在使△DOM與△ABC相似的點(diǎn)M，若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動時，以點(diǎn)P為圓心、半徑長為R（R＞0）畫圓，所得到的圓稱為動圓P，若設(shè)動圓P的直徑長為AC，過點(diǎn)D作動圓P的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，請?zhí)角笫欠翊嬖谒倪呅蜠EPF的最小面積S，若存在，請求出S的值；若不存在，請說明理由。
注：第（3）問請用備用圖解答

Answer 1

解：（1）連結(jié)BO與AC交于點(diǎn)H，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)H時， 直線DP平分矩形OABC的面積，理由如下： ∵矩形是中心對稱圖形，且點(diǎn)H為矩形的對稱中心， 又據(jù)經(jīng)過中心對稱圖形對稱中心的任一直線平分此中心對稱圖形的面積， 因?yàn)橹本�DP過矩形OABC的對稱中心點(diǎn)H， 所以直線DP平分矩形OABC的面積， 由已知可得此時點(diǎn)的坐標(biāo)為， 設(shè)直線的函數(shù)解析式為y=kx+b， 則有，解得， 所以，直線DP的函數(shù)解析式為：； （2）存在點(diǎn)使得與相似， 如圖，不妨設(shè)直線DP與y軸的正半軸交于點(diǎn)M（0，）， 因?yàn)椤螪OM=∠ABC，若△DOM與△ABC相似， 則有或， 當(dāng)時，即，解得， 所以點(diǎn)M1（0，）滿足條件， 當(dāng)時，即，解得， 所以點(diǎn)滿足條件， 由對稱性知，點(diǎn)也滿足條件， 綜上所述，滿足使與相似的點(diǎn)有3個， 分別為、； （3）如圖，過D作DP⊥AC于點(diǎn)P，以P為圓心，半徑長為畫圓， 過點(diǎn)D分別作的切線DE、DF，點(diǎn)E、F是切點(diǎn)， 除P點(diǎn)外在直線AC上任取一點(diǎn)P1，半徑長為畫圓， 過點(diǎn)D分別作的切線DE1、DF1，點(diǎn)E1、F1是切點(diǎn)， 在△DEP和△DFP中，∠PED=∠PFD，PF=PE，PD=PD， ∴△DPE≌△DPF， ∴S四邊形DEPF=2S△DPE=2×， ∴當(dāng)DE取最小值時，S四邊形DEPF的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由點(diǎn)P1的任意性知：DE是點(diǎn)與切點(diǎn)所連線段長的最小值， 在△ADP與△AOC中，∠DPA=∠AOC，∠DAP=∠CAO， ∴△ADP∽△AOC ∴，即， ∴， ∴， ∴S四邊形DEPF=，即S=。