Question

【題目】如圖①，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(4，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，4)．

（1）求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得S△OBC=4S△AOP，若存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）如圖②，點(diǎn)D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥y軸交拋物線于點(diǎn)E，求線段DE長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+4；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)(0，4)或(3，4)，或(，﹣4)或(，﹣4)；（3）DE的最大值為4．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法將點(diǎn)B,C代入即可求出拋物線的表達(dá)式；

（2）先利用拋物線的表達(dá)式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出OA,OB,OC的長度，然后利用面積之間的關(guān)系求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再將P的縱坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式中求出橫坐標(biāo)即可；

（3）先用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后表示出先對(duì)DE的長度，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可．

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(4，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，4)，

∴，

∴，

∴拋物線解析式為：y=﹣x2+3x+4；

（2）∵y=﹣x2+3x+4與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(4，0)，

∴0=﹣x2+3x+4，

∴x1=4，x2=﹣1，

∴點(diǎn)A(﹣1，0)，且點(diǎn)B(4，0)，點(diǎn)C(0，4)，

∴AO=1，BO=CO=4，

設(shè)點(diǎn)P(x，y)

∵S△OBC=4S△AOP，

∴OB×OC=4AO×|y|，

∴|y|=4，

∴y=±4，

當(dāng)y=4時(shí)，4=﹣x2+3x+4，

∴x1=0，x2=3，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)(0，4)或(3，4)，

當(dāng)y=﹣4時(shí)，﹣4=﹣x2+3x+4，

∴x3，x4，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)(，﹣4)或(，﹣4)，

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，4)或(3，4) 或(，﹣4)或(，﹣4)

（3）設(shè)直線BC的解析式為

將點(diǎn)B(4，0)， C(0，4)代入解析式中得，

解得

∴直線BC解析式為：y=﹣x+4，

設(shè)點(diǎn)E(a，﹣a2+3a+4)，則點(diǎn)D(a，﹣a+4)，

∴DE=﹣a2+3a+4﹣(﹣a+4)=﹣(a﹣2)2+4，

當(dāng)a=2時(shí)，DE的最大值為4．