Question

在直角坐標平面中，O為坐標原點，二次函數(shù)y=-x²+（k-1）x+4的圖象與y軸交于點A，與x軸的負半軸交于點B，且AB=5．
（1）求點A與點B的坐標和此二次函數(shù)的解析式；
（2）如果點M在拋物線上，且，求點M的坐標；
（3）如果點P在x軸上，且△ABP是等腰三角形，求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）由解析式可知，點A的坐標為（0，4），
∵AB=5，∴BO=3．∴點B的坐標為（-3，0）．
把點B的坐標（-3，0）代入y=-x²+（k-1）x+4，得-（-3）²+（k-1）×（-3）+4=0．
解得．
∴所求二次函數(shù)的解析式為；

（2）由，得|M_x|=2，
當x=2時，y=，得；
當x=-2時，y=，得；

（3）因為△ABP是等腰三角形，所以
①當AB=AP時，點P的坐標為（3，0）．
②當AB=BP時，點P的坐標為（2，0）或（-8，0）．
③當AP=BP時，設點P的坐標為（x，0）．
根據(jù)題意，得．
解得．
∴點P的坐標為（，0）．
綜上所述，點P的坐標為（3，0）、（2，0）、（-8，0）、（，0）．
分析：（1）由解析式即可求出點A的坐標，根據(jù)AB=5即可求出點B的坐標；
（2）根據(jù)，即可求出點M的坐標；
（3）△ABP是等腰三角形，分①當AB=AP時，②當AB=BP時，③當AP=BP時三種情況討論．
點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及等腰三角形的性質，難度較大，關鍵是掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)及等腰三角形的性質．