Question

如圖,在⊙O中,AB是直徑,CD是弦,AB⊥CD.

(1)P是上一點(diǎn)(不與C、D重合),試判斷∠CPD與∠COB的大小關(guān)系, 并說(shuō)明理由.

(2)點(diǎn)P′在劣弧CD上(不與C、D重合時(shí)),∠CP′D與∠COB有什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

(1)相等；（2）∠CP′D+∠COB=180°

【解析】

試題分析：(1)連接OD,根據(jù)垂徑定理可得∠COB=∠DOB，再結(jié)合圓周角定理即可得到結(jié)果；

(2)連接P′P,則可得∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.即可得∠P′CD+∠P′DC=∠CPD，從而可以得到結(jié)果.

從而∠CP′D+∠COB=180°.

(1)連接OD,

∵AB⊥CD,AB是直徑,

∴,

∴∠COB= ∠DOB.

∵∠COD=2∠P,

∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD.

(2)連接P′P,

則∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.

∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD.

∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB, 

從而∠CP′D+∠COB=180°.

考點(diǎn)：垂徑定理，圓周角定理

點(diǎn)評(píng)：輔助線問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，能否根據(jù)具體情況正確作出恰當(dāng)?shù)妮o助線往往能夠體現(xiàn)一個(gè)學(xué)生對(duì)圖形的理解能力，因而這類問(wèn)題在中考中比較常見(jiàn)，在各種題型中均有出現(xiàn)，一般難度較大，需多加關(guān)注.