Question

2．已知點A（1，2）、點B在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，過B作BC⊥x軸于點C，如圖，P是y軸上一點
（1）求k的值；
（2）當(dāng)△PBC為等腰直角三角形時，求點C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）（x₂＞x₁＞0）是雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上的任意兩點，s=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，t=$\frac{4}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，試判斷s與t的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點A坐標(biāo)代入y=$\frac{k}{x}$即可解決．
（2）分兩種情形討論①當(dāng)點P為直角頂點，②當(dāng)點B或點C為直角頂點時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)設(shè)點B坐標(biāo)，然后列出方程即可解決．
（3）如圖設(shè)點P是MN中點，作PE⊥x軸于E，交雙曲線于點Q，求出P、Q兩點坐標(biāo)，比較P、Q兩點的縱坐標(biāo)即可解決．

解答 解：（1）把點A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$上，得到k=2．
（2）當(dāng)點P為直角頂點時，可以設(shè)點B坐標(biāo)（m，2m）
則2m²=2，
∵m＞0，
∴m=1，
當(dāng)點B或點C為直角頂點時，可以設(shè)點B坐標(biāo)（m，m，）
則m²=2，
∵m＞0，
∴m=$\sqrt{2}$．
（3）如圖設(shè)點P是MN中點，作PE⊥x軸于E，交雙曲線于點Q，
∵點P坐標(biāo)（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），點Q坐標(biāo)（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{4}{{x}_{1}+{x}_{2}}$），
由圖象可知：$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$＞$\frac{4}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
∴s＞t．

點評 本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論，借助于函數(shù)圖象解決問題，屬于中考�？碱}型．