Question

【題目】Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中點，E、F分別是AC、BC上兩點，且ED⊥FD．

（1）如圖1，若E是AC中點，則BF=______，EF=______，AE2+BF2______EF2（填“>,<或=”）；

（2）如圖2，若點E是AC邊上任意一點，AE2+BF2_____EF2（填“>,<或=”），請說明理由；

（3）若點E在CA延長上，（2）中三條線段之間的關系是否成立？請畫圖說明．

Answer 1

【答案】（1）4；5；=；（2）=；證明見解析；（3）見解析．

【解析】

（1）由∠C=90°，AC=6，BC=8，可得，

又因為E是AC的中點，D是AB的中點，可得，所以∠DEF=∠CFE，因為ED⊥FD，所以∠EDF=90°，即∠CEF+∠CFE=∠DFE+∠DEF=90°，推出∠DFE=∠CEF，得到DF∥AC，又因為D為AB中點，推出F是BC的中點，所以，因為E是AC的中點，F為BC中點，所以，由勾股定理得，等量替代即可得到；

（2）如圖，延長ED至G使得ED =DG，連接BG，FG，因為D是AB的中點，可得AD=BD，通過證△ADE≌△BDG，可得AE=BG，∠A=∠3，又∠C =90°，所以∠A+∠ABC=90°，所以∠3+∠ABC=∠FBG=90°，可得BG2+BF2=FG2，因為AE=BG，所以AE2+BF2=FG2，因為DE=DG，∠EDF=90°，所以FE=FG，即可推出AE2+BF2=EF2；

（3）成立，延長ED至G使得ED=DG，連接BG，FG，因為D是AB的中點，可得AD=BD，因為∠1=∠2，DE=DG，得到△ADE≌△BDG，所以AE=BG，∠AED=∠BGD，因為∠3=∠4，∠AED=∠BGD，推出∠GBF=∠C=90°，因為FD⊥ED，D為EG中點，所以EF=FG，又在Rt△BFG中，BG2+BF2=FG2，等量替代可得AE2+BF2=EF2；

解：（1）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴，

∵E是AC的中點，D是AB的中點，

∴，

∴∠DEF=∠CFE，

∵ED⊥FD，

∴∠EDF=90°，

∴∠CEF+∠CFE=∠DFE+∠DEF=90°，

∴∠DFE=∠CEF，

∴DF∥AC，

∵D為AB中點，

∴F為BC中點，

∴，

∵E是AC的中點，F為BC中點，

∴，

∵，

∴；

故答案為：4； 5；AE2+BF2=EF2；

（2）AE2+BF2=EF2，

如圖，延長ED至G使得ED=DG，連接BG，FG．

∵D是AB的中點，

∴AD=BD，

∵∠1=∠2，DE=DG，

∴△ADE≌△BDG，

∴AE=BG，∠A=∠3，

∵∠C =90°，

∴∠A+∠ABC=90°，

∴∠3+∠ABC=∠FBG=90°，

∴BG2+BF2=FG2，

∵AE=BG，

∴AE2+BF2=FG2，

∵DE=DG，∠EDF=90°，

∴FE=FG，

∴AE2+BF2=EF2，

（3）成立，如圖，延長ED至G使得ED=DG，連接BG，FG，

∵D是AB的中點，

∴AD=BD，

∵∠1=∠2，DE=DG，

∴△ADE≌△BDG，

∴AE=BG，∠AED=∠BGD，

∵∠3=∠4，∠AED=∠BGD，

∴∠GBF=∠C=90°，

∵FD⊥ED，D為EG中點，

∴EF=FG，

在Rt△BFG中，BG2+BF2=FG2，

即AE2+BF2=EF2；