等腰Rt△ABC中,∠A=90°,點(diǎn)D和E為邊BC上的點(diǎn),且∠DAE=45°,△ADE的外接圓分別交邊AB和AC于點(diǎn)P和Q,求證:BP+CQ=PQ.

證明:設(shè)O是△ADE外心,則O是PQ中點(diǎn),PQ是直徑.
連接PD、OD、OE,過Q作AC的垂線交BC于點(diǎn)F,連接PE,則四邊形PBFQ是梯形,
∵△ABC中是等腰直角三角形,
∴∠B=45°,∠C=45°,
∴△CQF是等腰直角三角形,
∴CQ=QF,
∵∠DAC與∠DOE分別是同弧DE所對的圓周角與圓心角,且∠DAE=45°,
∴∠DOE=2∠DAC=90°,
∴∠ODE=45°,
∴OD∥AB(同位角相等,兩直線平行),
∴線段OD是梯形PBFQ的中位線,
∴PQ=2OD=BP+QF,
∴BP+CQ=PQ.
分析:連接OD,過Q作AC的垂線,設(shè)交BC于F點(diǎn),則可以證明四邊形BPQF是梯形,而OD即半徑是中位線.O已經(jīng)是中點(diǎn),只要證明OD平行于AB即可,由圓周角定理,兩直線平行的判定定理(內(nèi)錯角相等,兩直線平行),而OD即半徑是中位線,那么可證得.再就是證明CQ=FQ,不難證明△CQF是等腰直角三角形.
點(diǎn)評:本題考查了三角形的外接圓與外心、等腰直角三角形的性質(zhì)、梯形中位線的定理.解決本題的關(guān)鍵是通過添加輔助線,構(gòu)造梯形PBFQ,在梯形中建立起B(yǎng)Q、CQ、PQ間的聯(lián)系,利用梯形中位線定理解決.
練習(xí)冊系列答案
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16、如圖,在等腰Rt△ABC中,∠A=90°,AC=9,點(diǎn)O在AC上,且AO=2,點(diǎn)P是AB上一動點(diǎn),連接OP將線段OP繞O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OD,要使點(diǎn)D恰好落在BC上,則AP的長度等于
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

27、如圖,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為BC的中點(diǎn),DE⊥AB,垂足為E,過點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長線于點(diǎn)F,連接CF.
(1)證明:△BDF是等腰直角三角形.
(2)猜想線段AD與CF之間的關(guān)系并證明.

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精英家教網(wǎng)在等腰Rt△ABC中,AC=BC,點(diǎn)D在BC上,過點(diǎn)D作DE⊥AD,過點(diǎn)B作BE⊥AB交DE于點(diǎn)E,DE交AB于F.
(1)求證:AD=DE;
(2)若BD=2CD,求證:AF=5BF.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•太倉市二模)探究與應(yīng)用.試完成下列問題:
(1)如圖①,已知等腰Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),作∠POQ=90°,分別交AC、BC于點(diǎn)P、Q,連結(jié)PQ、CO,求證:AP2+BQ2=PQ2;
(2)如圖②,將等腰Rt△ABC改為任意直角三角形,點(diǎn)O仍為AB的中點(diǎn),∠POQ=90°,試探索上述結(jié)論AP2+BQ2=PQ2是否仍成立;
(3)通過上述探究(可直接運(yùn)用上述結(jié)論),試解決下面的問題:如圖③,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),過C、O兩點(diǎn)的圓分別交AC、BC于P、Q,連結(jié)PQ,求△PCQ面積的最大值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D為△ABC的一個外角∠ABF的平分線上一點(diǎn),且∠ADC=45°,CD交AB于E,
(1)求證:AD=CD;
(2)求AE的長.

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