Question

如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P（m，n）（m＞0）是函數(shù)（k＞0）的圖象上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線PA⊥OP于P，直線PA與x軸的正半軸交于點(diǎn)A（a，0）（a＞m），△OPA的面積為S，且．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若OP=AP，求k的值；
（3）若已知k=2，請(qǐng)問(wèn)OP²是否有最小值？若有，請(qǐng)求出OP²的最小值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，根據(jù)三角形的面積即可求得a的值，從而寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到m=n，OA=2n．再根據(jù)三角形的面積得到關(guān)于k的方程，求解；
（3）根據(jù)k=2，得n=，再根據(jù)勾股定理用m表示OP²，利用配方法求得其最小值．
解答：解：（1）n=1時(shí)，S=an=a=，
所以a=，
所以A（，0）．（2分）

（2）∵OP=AP，∠OPA=90°，
∴△OPA為等腰直角三角形．
∴OA=2n，m=n，
∴S=2nn=n²，
∴n²=1+（4分），
∵mn=k，
∴n²=k，
得k=1+，
k²-4k+4=0，（5分）
∴k=2；                                            （6分）

（3）∵n=，
∴OP²=m²+n²=m²+（7分）
=．（8分）
當(dāng)m-=0時(shí)，OP²有最小值，最小值是4．           （9分）
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式、勾股定理以及配方法．