【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B(2,0)兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,8).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若將該拋物線向下平移m個單位長度,使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部(不包括△ABC的邊界),求m的取值范圍;
(3)已知點(diǎn)Q在x軸上,點(diǎn)P在拋物線上,是否存在以A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:把點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得: ,解得: ,
∴y=﹣x2﹣2x+8.
(2)
解:y=﹣x2﹣2x+8=﹣(x+1)2+9,
∴平移后拋物線的解析式為y=﹣(x+1)2+9﹣m.
∵拋物線的對稱軸為x=﹣1,點(diǎn)B(2,0),
∴A(﹣4,0).
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+8,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得:﹣4k+8=0,解得k=2,
∴直線AC解析式為y=2x+8.
當(dāng)x=﹣1時(shí),y=6.
∵拋物線的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部,
∴0<9﹣m<6.
∴3<m<9.
(3)
解:設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)P(x,y).
①當(dāng)AC為對角線時(shí).
∵四邊形APCQ為平行四邊形,
∴AC與PQ互相平分.
依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知: = , = .
∴x=﹣4﹣a,y=8.
∵點(diǎn)P在拋物線上,
∴﹣(a+4)2﹣2(﹣4﹣a)=0,解得:a=﹣2或a=﹣4(舍去)
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣2,0).
②當(dāng)CP為對角線時(shí),
∵四邊形APCQ為平行四邊形,
∴CP與AQ互相平分.
依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知: = , = ,
∴x=a+4,y=8.
∵點(diǎn)P在拋物線上,
∴﹣(a+4)2﹣2(a+4)=0,解得:a=﹣6或a=﹣4(舍去)
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣6,0).
③AQ為對角線時(shí).
∵四邊形APCQ為平行四邊形,
∴AQ與CP互相平分.
依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知: = , = ,
∴x=﹣4+a,y=﹣8.
∵點(diǎn)P在拋物線上,
∴﹣(a﹣4)2﹣2(a﹣4)+16=0,整理得:a2﹣6a﹣8=0,解得:a=3+ 或a=3﹣ .
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3+ ,0)或(3﹣ ,0).
綜上所述滿足條件的點(diǎn)Q為(﹣2,0)或(﹣6,0)或(3+ ,0)或(3﹣ ,0).
【解析】(1)把點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程組,從而可求得b、c的值,然后可得到拋物線的解析式;(2)平移后拋物線的解析式為y=﹣(x+1)2+9﹣m,然后求得直線AC的解析式y(tǒng)=2x+8,當(dāng)x=﹣1時(shí),y=6,最后由拋物線的頂點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部可得到0<9﹣m<6,從而可求得m的取值范圍;(3)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)P(x,y).分為AC為對角線、CP為對角線、AQ為對角線三種情況,依據(jù)平行四邊形對角相互平分的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得x、y的值(用a的式子表示),然后將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a的值,從而可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A、B、C 為數(shù)軸上三點(diǎn),若點(diǎn) C 到點(diǎn) A 的距離是點(diǎn) C 到點(diǎn) B 的距離的 2倍,則稱點(diǎn) C 是(A,B)的奇異點(diǎn),例如圖 1 中,點(diǎn) A 表示的數(shù)為﹣1,點(diǎn)B 表示的數(shù)為 2,表示 1 的點(diǎn) C 到點(diǎn) A 的距離為 2,到點(diǎn) B 的距離為 1,則點(diǎn)C 是(A,B)的奇異點(diǎn),但不是(B,A)的奇異點(diǎn).
(1)在圖 1 中,直接說出點(diǎn) D 是(A,B)還是(B,C)的奇異點(diǎn);
(2)如圖 2,若數(shù)軸上 M、N 兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為﹣2 和 4,(M,N)的奇異點(diǎn) K 在 M、N 兩點(diǎn)之間,請求出 K 點(diǎn)表示的數(shù);
(3)如圖 3,A、B 在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為﹣20 和 40,現(xiàn)有一點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā),向左運(yùn)動.
①若點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) A 停止,則當(dāng)點(diǎn) P 表示的數(shù)為多少時(shí),P、A、B 中恰有一個點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的奇異點(diǎn)?
②若點(diǎn) P 到達(dá)點(diǎn) A 后繼續(xù)向左運(yùn)動,是否存在使得 P、A、B 中恰有一個點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的奇異點(diǎn)的情況?若存在,請直接寫出此時(shí) PB 的距離;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB,AC所在直線的距離相等,且OB=OC.
(1)如圖①,若點(diǎn)O在邊BC上,求證:AB=AC;
(2)如圖②,若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部,求證:AB=AC;
(3)若點(diǎn)O在△ABC的外部,AB=AC成立嗎?請畫圖表示.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列結(jié)論:w
①若a+b+c=0,且abc≠0,則方程a+bx+c=0的解是x=1;
②若a(x﹣1)=b(x﹣1)有唯一的解,則a≠b;
③若b=2a,則關(guān)于x的方程ax+b=0(a≠0)的解為x=﹣;
④若a+b+c=1,且a≠0,則x=1一定是方程ax+b+c=1的解;
其中結(jié)論正確個數(shù)有( )
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 已知點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線上的兩點(diǎn),AB =12厘米,點(diǎn)C在線段AB上,且AC=8厘米.點(diǎn)P、點(diǎn)Q是直線上的兩個動點(diǎn),點(diǎn)P的速度為1厘米/秒,點(diǎn)Q的速度為2厘米/秒.點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)C、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),在直線上運(yùn)動,則經(jīng)過 秒時(shí)線段PQ的長為5厘米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高鐵的開通,給N市市民出行帶來了極大的方便,“元旦”期間,甲、乙兩人應(yīng)邀到A市的藝術(shù)館參加演出,甲乘私家車從N市出發(fā)1小時(shí)后,乙乘坐高鐵從N市出發(fā),先到A市火車站,然后再轉(zhuǎn)乘出租車到A市的藝術(shù)館(換車時(shí)間忽略不計(jì)),兩人恰好同時(shí)到達(dá)A市的藝術(shù)館,他們離開N市的距離y(千米)與乘車時(shí)間x(小時(shí))的關(guān)系如圖所示,請結(jié)合圖象解答下列問題:
(1)高鐵的平均速度是每小時(shí)多少千米?
(2)分別求甲、乙(乘坐高鐵時(shí))兩人離開N市的距離y與乘車時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若甲要提前30分鐘到達(dá)藝術(shù)館,那么私家車的速度必須達(dá)到多少千米/小時(shí)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(題文)如圖,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射線CO上的一個動點(diǎn),∠AOC=60°,則當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí),AP的長為________________(提示:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,從熱氣球C處測得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為30°、45°,如果此時(shí)熱氣球C處的高度CD為100米,點(diǎn)A、D、B在同一直線上,求AB兩點(diǎn)的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一節(jié)數(shù)學(xué)活動課上,王老師將本班學(xué)生身高數(shù)據(jù)(精確到1厘米)出示給大家,要求同學(xué)們各自獨(dú)立繪制一幅頻數(shù)分布直方圖,甲繪制的如圖①所示,乙繪制的如圖②所示,經(jīng)王老師批改,甲繪制的圖是正確的,乙在數(shù)據(jù)整理與繪圖過程中均有個別錯誤.
(1)寫出乙同學(xué)在數(shù)據(jù)整理或繪圖過程中的錯誤(寫出一個即可);
(2)甲同學(xué)在數(shù)據(jù)整理后若用扇形統(tǒng)計(jì)圖表示,則159.5﹣164.5這一部分所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為;
(3)該班學(xué)生的身高數(shù)據(jù)的中位數(shù)是;
(4)假設(shè)身高在169.5﹣174.5范圍的5名同學(xué)中,有2名女同學(xué),班主任老師想在這5名同學(xué)中選出2名同學(xué)作為本班的正、副旗手,那么恰好選中一名男同學(xué)和一名女同學(xué)當(dāng)正,副旗手的概率是多少?
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