Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=4，BD⊥CD，E是BC的中點(diǎn)．
（1）求∠DBC的度數(shù)；
（2）求BC的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)E出發(fā)沿E→D以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），連接PQ．當(dāng)t為何值時(shí)△PEQ為等腰三角形？

Answer 1

解：（1）設(shè)∠DBC=x，
∵AD∥BC，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=x，四邊形ABCD為等腰梯形，∠BCD=2x，
又∵BD⊥CD，
∴x+2x=90°，即x=30°．
即∠DBC=30°．

（2）∵在Rt△BCD中，E是BC的中點(diǎn)，
∴DE=BE=CE
又∵∠C=60°，
∴△CDE為等邊三角形．
∴DE=DC=4，即BC=2DE=8．

（3）若點(diǎn)P在BE上，∵∠PEQ=120°，
∴PE=QE；即4-3t=t，
解之t=1s；
若P在EC上，∵∠PEQ=60°，
∴PE=QE，
即3t-4=t，
解之t=2s．
∴當(dāng)t=1s或t=2s時(shí)，△PEQ是等腰三角形．
分析：（1）由已知可以知道，四邊形為ABCD為等腰梯形，可知兩底角相等，及AB=DC=AD，且BD⊥CD，所以我們可用直角三角形兩余角和為90度．
（2）由（1）知，BC=2CD，可知△CDE為等邊三角形，即BC=2EC=2CD=8．
（3）根據(jù)題意，若△PEQ為等腰三角形，即EQ=EP，當(dāng)P在點(diǎn)E的左邊為一種情況；在右邊為一種情況．由已知可列方程，解之即可得出t．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了梯形，直角三角形，等邊三角形及等腰三角形的性質(zhì)的知識(shí)．