Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CB、CD是⊙O的兩條切線，D為切點，AC與⊙O交于點E，連接BE．
（1）求證：△BEC∽△ABC；
（2）若CE=4，AE=5，求切線CD的長．

Answer 1

（1）證明：如圖，∵AB是⊙O的直徑，CB是⊙O的切線，
∴∠AEB=90°，∠ABC=90°，
∴∠BEC=∠AEB=90°，
∴∠BEC=∠ABC，
又∵∠BCE=∠ACN，
∴△BEC∽△ABC；

（2）解：∵AC=CE+AE=4+5=9，
∵△BEC∽△ABC，
∴=，
∴CB²=CE•AC=4×9=36，
∴CB=6，
∵CB、CD是⊙O的兩條切線，
∴CD=CB=6．
分析：（1）由AB為圓的直徑，CB為圓的切線，利用圓周角定理得到∠AEB，∠BEC與∠ABC都為直角，得到∠BEC=∠ABC，再由∠ACB為公共角，利用兩對對應角相等的兩三角形相似即可得證；
（2）由CE+AE求出AC的長，再根據(jù)三角形BEC與三角形ABC相似，由相似得比例，將CE與AC的長代入求出BC的長，根據(jù)切線長相等即可得到BC=CD，進而求出CD的長．
點評：此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，切線長定理，以及圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．