Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線a：y=2x﹣6，和直線b：y=﹣ x+4相交于點H，分別與x、y軸交于點A、B、C、D，點P在x軸上，過點P作x軸的垂線，分別與直線a、b交于點E、F．

（1）求點H的坐標；
（2）判斷直線a、b的位置關系，并說明理由；
（3）設點P的橫坐標為m，當m為何值時，以D、E、F、O為頂點的四邊形是
平行四邊形，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：聯立兩直線解析式可得 ，解得 ，

∴H（4，2）；

（2）解：a⊥b，理由如下：

在y=2x﹣6中，令x=0，可得y=﹣6，在y=﹣ x+4中，令x=0可得y=4，

∴B（0，﹣6），D（0，4），

∴BD=10，DH= =2 ，BH= =4 ，

∴DH2+DH2=20+80=100=BD2，

∴△BDH是以BD為斜邊的直角三角形，

∴∠BHD=90°，即a⊥b；

（3）解：∵P點橫坐標為m，

∴E（m，2m﹣6），F（m，﹣ m+4），

∴EF=|2m﹣6﹣（﹣ m+4）|，

當以D、E、F、O為頂點的四邊形是平行四邊形時，則EF=OD=4，

∴|2m﹣6﹣（﹣ m+4）|=4，解得m= 或m= ，

∴當m的值為 或 時，以D、E、F、O為頂點的四邊形是平行四邊形．

【解析】（1）由兩直線相交于點H，聯立兩直線解析式，求出方程組的解，得到點H的坐標；（2）根據題意求出B、D的坐標，根據兩點間的距離公式求出DH、BH、BD的值，根據勾股定理的逆定理得到直角三角形，判斷出直線a、b的位置是a⊥b；（3）根據P點橫坐標為m，得到E、F點的坐標，求出EF的值，根據平行四邊形的判定方法，得到m的值.