Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，AD=8，sin∠BCD=

3

5

，分別以AB、AD、CD為半徑向外做半圓，四邊形EFGH的一邊FG與BC在同一條直線上，其余三邊與半圓相切，且分別與梯形ABCD的邊平行，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是

68

．

Answer 1

分析：首先過(guò)點(diǎn)D作DR⊥BC于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)H作HK⊥BC于點(diǎn)K，設(shè)CD的中點(diǎn)為O，GH與半圓O相切于點(diǎn)M，連接OM．易證得四邊形ABRD是矩形，四邊形EFKH是矩形，又由直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，AD=8，sin∠BCD=

3

5

，可求得CD的長(zhǎng)，由切線的性質(zhì)，可求得EF與BF的長(zhǎng)，繼而求得GH的長(zhǎng)，又由平行四邊形的面積，可求得CG的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DR⊥BC于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)H作HK⊥BC于點(diǎn)K，設(shè)CD的中點(diǎn)為O，GH與半圓O相切于點(diǎn)M，連接OM．
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴AB∥DR，
∴四邊形ABRD是矩形．
∴DR=AB=6．
又∵sin∠BCD=

3

5

，
∴

DR

CD

=

3

5

，
∴CD=10．
∴CR=

CD2-DR2

=8，
∴BC=AD+CR=8+8=16，
∵以AB為直徑的圓與EF相切，EF∥AB∥HK，
∴四邊形EFKH是矩形，
∴EH=FK，KH=EF，
∴BF=

1

2

AB=3．
同理：EF=AB+

1

2

AD=10．
∵CD∥GH，
∴∠G=∠BCD，
∴sin∠G=

3

5

，
∵HK=EF=10，
∴GH=

HK

sin∠G

=

50

3

，GK=

40

3

，
∵OM⊥GH，OM=

1

2

CD=5，
∵CG•HK=GH•OM，
∴CG=

GH•OM

HK

=

25

3

，
∴CK=GK-CG=5，
∴RK=CR-CK=3，
∴EH=FK=BF+BR+RK=3+8+3=14，F(xiàn)G=FK+GK=14+

40

3

=

82

3

，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)是：EF+FG+GH+EH=10+

82

3

+

50

3

+14=68．
故答案為：68．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．