Question

如圖△ABC，AB=BC，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△AB′C′，當(dāng)點C′恰好能落在BC的中點處時，B′C′與AB交于點F，若AC=2，則C′F的長為

2 2

3

．

Answer 1

分析：由AB=BC，∠BAC=∠C，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC=AC′，BC=B′C′，∠B=∠B′，則∠AC′C=∠C，易證得△ACC′∽△BAC，則AB：AC=AC：CC′，而AC=2，即有2CC′：2=2：CC′，可計算得到CC′=

2

，得到AB=BC=B′C′=B′A=2

2

，BC′=

2

，再證明△BFC′∽△∠B′FA，則BF：B′F=FC′：FA=BC′：B′A=

2

：2

2

=1：2，設(shè)BF=x，F(xiàn)C′=y，則B′F=2x，F(xiàn)A=2y，利用B′F+FC′=B′C′=2

2

，BF+FA=2

2

，可得到關(guān)于x與y的方程組，解方程組即可．

解答：解：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C，
∵△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△AB′C′，點C′恰好能落在BC的中點處，
∴AC=AC′，BC=B′C′，∠B=∠B′，
∴∠AC′C=∠C，
∴∠BAC=∠AC′C=∠C，
∴△ACC′∽△BAC，
∴AB：AC=AC：CC′，
∵AC=2，
∴2CC′：2=2：CC′，
∴CC′=

2

，
∴AB=BC=B′C′=B′A=2

2

，BC′=

2

，
∵∠B=∠B′，∠BFC′=∠B′FA，
∴△BFC′∽△∠B′FA，
∴BF：B′F=FC′：FA=BC′：B′A=

2

：2

2

=1：2，
設(shè)BF=x，F(xiàn)C′=y，則B′F=2x，F(xiàn)A=2y，
∵B′F+FC′=B′C′=2

2

，BF+FA=2

2

，
∴

x+2y=2 2 2x+y=2 2

，
解得

x= 2 2 3 y= 2 2 3

，
∴C′F的長為

2 2

3

．
故答案為

2 2

3

．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．