如圖△ABC,AB=BC,將△ABC繞點A逆時針旋轉一定的角度得到△AB′C′,當點C′恰好能落在BC的中點處時,B′C′與AB交于點F,若AC=2,則C′F的長為
2
2
3
2
2
3
分析:由AB=BC,∠BAC=∠C,根據(jù)旋轉的性質得到AC=AC′,BC=B′C′,∠B=∠B′,則∠AC′C=∠C,易證得△ACC′∽△BAC,則AB:AC=AC:CC′,而AC=2,即有2CC′:2=2:CC′,可計算得到CC′=
2
,得到AB=BC=B′C′=B′A=2
2
,BC′=
2
,再證明△BFC′∽△∠B′FA,則BF:B′F=FC′:FA=BC′:B′A=
2
:2
2
=1:2,設BF=x,F(xiàn)C′=y,則B′F=2x,F(xiàn)A=2y,利用B′F+FC′=B′C′=2
2
,BF+FA=2
2
,可得到關于x與y的方程組,解方程組即可.
解答:解:∵AB=BC,
∴∠BAC=∠C,
∵△ABC繞點A逆時針旋轉一定的角度得到△AB′C′,點C′恰好能落在BC的中點處,
∴AC=AC′,BC=B′C′,∠B=∠B′,
∴∠AC′C=∠C,
∴∠BAC=∠AC′C=∠C,
∴△ACC′∽△BAC,
∴AB:AC=AC:CC′,
∵AC=2,
∴2CC′:2=2:CC′,
∴CC′=
2

∴AB=BC=B′C′=B′A=2
2
,BC′=
2
,
∵∠B=∠B′,∠BFC′=∠B′FA,
∴△BFC′∽△∠B′FA,
∴BF:B′F=FC′:FA=BC′:B′A=
2
:2
2
=1:2,
設BF=x,F(xiàn)C′=y,則B′F=2x,F(xiàn)A=2y,
∵B′F+FC′=B′C′=2
2
,BF+FA=2
2
,
x+2y=2
2
2x+y=2
2
,
解得
x=
2
2
3
y=
2
2
3

∴C′F的長為
2
2
3

故答案為
2
2
3
點評:本題考查了旋轉的性質:旋轉前后兩圖形全等;對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角.也考查了等腰三角形的性質以及相似三角形的判定與性質.
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A.∠B=∠C        B.AD⊥BC

C.AD平分∠BAC     D.AB=2BD

 

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