Question

已知：如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，點(diǎn)D在AB的延長線上，∠BCD=∠A．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）過點(diǎn)C作CE⊥AB于E．若CE=2，cosD=，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）先連接CO，根據(jù)AB是⊙O直徑，得出∠1+∠OCB=90°，再根據(jù)AO=CO，得出∠1=∠A，最后根據(jù)∠4=∠A，證出OC⊥CD，即可得出CD為⊙O的切線；
（2）根據(jù)OC⊥CD，得出∠3+∠D=90°，再根據(jù)CE⊥AB，得出∠3+∠2=90°，從而得出cos∠2=cosD，再在△OCD中根據(jù)余弦定理得出CO的值，最后根據(jù)⊙O的半徑為，即可得出AD的長．
解答：證明：（1）連接CO，
∵AB是⊙O直徑
∴∠1+∠OCB=90°，
∵AO=CO，
∴∠1=∠A．
∵∠4=∠A，
∴∠4+∠OCB=90°．
即∠OCD=90°．
∴OC⊥CD．
又∵OC是⊙O半徑，
∴CD為⊙O的切線．

（2）∵OC⊥CD于C，
∴∠3+∠D=90°．
∵CE⊥AB于E，
∴∠3+∠2=90°．
∴∠2=∠D．
∴cos∠2=cosD，
在△OCD中，∠OCD=90°，
∴cos∠2=
∵cosD=，CE=2，
∴=，
∴CO=，
∴⊙O的半徑為．
∴OD=，
AD=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可，同時(shí)考查了三角函數(shù)的知識(shí)．