Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，D是⊙O上的一點，且BD∥CO．
（1）求證：△ADB∽△CBO；
（2）若AB=2，BC=，求AD的長（結果保留根號）．

Answer 1

（1）證明：∵AB為圓O的直徑，
∴∠D=90°，
又BC是圓O的切線，
∴∠ABC=90°，
∴∠D=∠ABC，
又DB∥OC，
∴∠ABD=∠COB，
∴△ADB∽△CBO；

（2）解：設AD=x，
在直角三角形ABD中，由AB=2，AD=x，
根據(jù)勾股定理得：DB=，
由（1）得到△ADB∽△CBO，又BO=AB=1，
∴=，即=，
兩邊平方化簡得：x²=，
解得：x=，
則AD=．
分析：（1）根據(jù)AB為圓O的直徑，根據(jù)圓周角定理得到∠D為90°，又BC為圓O的切線，根據(jù)切線性質(zhì)得到∠CBO=90°，進而得到這兩個角相等，又DB與OC平行，根據(jù)兩直線平行，得到一對內(nèi)錯角相等，從而利用兩角對應相等的兩三角形相似即可得證；
（2）設AD=x，在直角三角形ADB中，由AB和設出的AD，利用勾股定理表示出DB，再根據(jù)半徑OB等于直徑AB的一半求出OB，然后由（1）得到的相似三角形，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例列出關于x的方程，求出方程的解即可得到x的值即為AD的長．
點評：此題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．對于第一問這樣的幾何證明題，要求學生多觀察，多分析，根據(jù)題意選擇合適的判定方法；第二問的突破點在于利用勾股定理表示出BD，借助第一問的相似得比例．數(shù)形結合及方程的思想都是數(shù)學中常用的重要思想．