Question

如圖，已知：正方形OABC的面積為9，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B在函數(shù)y=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象上，點(diǎn)P（m，n）是函數(shù)y=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，并設(shè)矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面積為S．
（1）求點(diǎn)B坐標(biāo)和k的值．
（2）當(dāng)S=

9

2

時(shí)，求P的坐標(biāo)．
（3）寫(xiě)出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)中正方形的面積與反比例系數(shù)的關(guān)系，即可求得反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而求得B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)S=n（m-AO）即可得到方程求解；
（3）根據(jù)S=n（m-AO）即可寫(xiě)出函數(shù)解析式．

解答：解：（1）∵正方形OABC的面積為9，
∴OA=OC=3，
∴B（3，3）．
又∵點(diǎn)B（3，3）在函數(shù)y=

k

x

(k＞0，x＞0)的圖象上，
∴k=9．

（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P₁在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，
∵P₁（m，n）在函數(shù)y=

k

x

上，
∴mn=9．
∴則S=m（n-3）=

9

2

∴m=

3

2

，
∴n=6．
∴P₁（

3

2

，6）；
②當(dāng)點(diǎn)P₂在點(diǎn)B或B的右側(cè)時(shí)，
∵P₂（m，n）在函數(shù)y=

k

x

上，
∴mn=9．
∴S=n（m-3）=mn-6n=

9

2

∴n=1.5，
∴m=6．
∴P₂（6，1.5）．

（3）當(dāng)0＜m＜3時(shí)，S=9-3m；
當(dāng)m≥3時(shí)，當(dāng)x=m時(shí)，P的縱坐標(biāo)是

9

m

，
則與矩形OEPF中和正方形OABC重合部分是邊長(zhǎng)是3，寬是

9

m

的矩形，
則面積是：

27

m

，
因而S=9-

27

m

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反比例函數(shù)的系數(shù)與矩形的面積的關(guān)系，把線段的長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．