Question

已知直線y=-

3

x+

3

與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，C是x軸上一點(diǎn)，如果∠ABC=∠ACB，
求：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（x，0），分別令x=0、y=0，求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間距離公式可得（1-0）²+（0-

3

）²=（x-1）²+0²，求解即可求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先設(shè)所求二次函數(shù)的解析式是y=ax²+bx+c，然后分別把（1，0）、（0，

3

）、（3，0）以及（1，0）、（0，

3

）、（-1，0）代入函數(shù)，可得三元一次方程組，求解即可．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（x，0），根據(jù)題意得
當(dāng)x=0時(shí)，y=

3

；
當(dāng)y=0時(shí)，x=1；
∴A點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)是（0，

3

），
∴（1-0）²+（0-

3

）²=（x-1）²+0²，
解得x=3或-1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0）或（-1，0）；

（2）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式是y=ax²+bx+c，
把（1，0）、（0，

3

）、（3，0）代入函數(shù)得

0=a+b+c 3 =c 0=9a+3b+c

，
解得

a= 3 3 b=- 4 3 3 c= 3

，
∴所求函數(shù)解析式是y=

3

3

x²-

4

3

3

x+

3

；
把（1，0）、（0，

3

）、（-1，0）代入函數(shù)得

a+b+c=0 c= 3 a-b+c=0

，
解得

a=- 3 b=0 c= 3

，
∴所求函數(shù)解析式是y=-

3

x²+

3

．
故所求的二次函數(shù)的解析式是y=

3

3

x²-

4

3

3

x+

3

或y=-

3

x²+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解三元一次方程組．解題的關(guān)鍵是運(yùn)用坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)之間距離的公式．