Question

如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，頂點為D．
（1）直接寫出A、B、C三點的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸；
（2）連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m；
①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當(dāng)m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？
②設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線的解析式，當(dāng)y=0時可求出A，B兩點的坐標(biāo)，當(dāng)x=0時，可求出C點的坐標(biāo)．根據(jù)對稱軸x=-

b

2a

可得出對稱軸的解析式．
（2）PF的長就是當(dāng)x=m時，拋物線的值與直線BC所在一次函數(shù)的值的差．可先根據(jù)B，C的坐標(biāo)求出BC所在直線的解析式，然后將m分別代入直線BC和拋物線的解析式中，求得出兩函數(shù)的值的差就是PF的長．
根據(jù)直線BC的解析式，可得出E點的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式可求出D點的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點的距離公式，可求出DE的長，然后讓PF=DE，即可求出此時m的值．
（3）可將三角形BCF分成兩部分來求：
一部分是三角形PFC，以PF為底邊，以P的橫坐標(biāo)為高即可得出三角形PFC的面積．
一部分是三角形PFB，以PF為底邊，以P、B兩點的橫坐標(biāo)差的絕對值為高，即可求出三角形PFB的面積．
然后根據(jù)三角形BCF的面積=三角形PFC的面積+三角形PFB的面積，可求出關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
拋物線的對稱軸是：直線x=1．

（2）①設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分別代入得：

3k+b=0 b=3

解得：

k=-1 b=3

．
所以直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+3．
當(dāng)x=1時，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
當(dāng)x=m時，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x²+2x+3中，當(dāng)x=1時，y=4．
∴D（1，4）
當(dāng)x=m時，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3）
∴線段DE=4-2=2，
線段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m
∵PF∥DE，
∴當(dāng)PF=ED時，四邊形PEDF為平行四邊形．
由-m²+3m=2，解得：m₁=2，m₂=1（不合題意，舍去）．
因此，當(dāng)m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．
②設(shè)直線PF與x軸交于點M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．
∵S=S_△BPF+S_△CPF
即S=

1

2

PF•BM+

1

2

PF•OM=

1

2

PF•（BM+OM）=

1

2

PF•OB．
∴S=

1

2

×3（-m²+3m）=-

3

2

m²+

9

2

m（0＜m＜3）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)二次函數(shù)得出相關(guān)點的坐標(biāo)和對稱軸的解析式是解題的基礎(chǔ)．