Question

如圖，矩形ABCD中，AD=8，DC=6，在對角線AC上取一點O，以O(shè)C為半徑的圓切AD于E，交BC于F，交CD于G．
（1）求⊙O的半徑R；
（2）連接FG，試判斷△GFE的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)勾股定理即可求得AC的長，然后根據(jù)△AOE∽△ACD，相似三角形的對應邊的比相等，即可求解；
（2）根據(jù)90度的圓周角所對的弦是直徑，即可得到FG是直徑，再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，即可判斷．

解答：解：（1）連接OE，∵以O(shè)C為半徑的圓切AD于E，∴OE⊥AD．（1分）
∵四邊形ABCD是矩形，∠D=90°，
∴AC=

AD2+DC2

=

82+62

=10．（3分）
∵∠D=∠OEA，∠OAE=∠CAD，
∴△AOE∽△ACD．（5分）
∴

OE

CD

=

AO

AC

，即

R

6

=

10-R

10

．解得R=

15

4

．（7分）

（2）△GFE是直角三角形．理由如下：（8分）
∵∠DCB=90°，
∴FG為⊙O的直徑．
∴∠FEG=90°，即：△GFE是直角三角形．（10分）

點評：本題主要考查了三角形的相似的判定與性質(zhì)，以及圓周角定理，正確求得半徑是關(guān)鍵．