Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點(diǎn)B作射線BB₁∥AC．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BB₁于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，即可得到AD、t的值，從而確定AE的長(zhǎng)，由DE=AE-AD即可得解．
（2）若△DEG與△ACB相似，要分兩種情況：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根據(jù)這些比例線段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表達(dá)式時(shí)，要分AD＞AE和AD＜AE兩種情況）
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5．
∵AD=5t，CE=3t，
∴當(dāng)AD=AB時(shí)，5t=5，即t=1；
∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6-5=1．

（2）∵EF=BC=4，G是EF的中點(diǎn)，
∴GE=2．
當(dāng)AD＜AE（即t＜）時(shí)，DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t，
若△DEG與△ACB相似，則 或 ，
∴或 ，
∴t=或t=；
當(dāng)AD＞AE（即t＞）時(shí)，DE=AD-AE=5t-（3+3t）=2t-3，
若△DEG與△ACB相似，則 或 ，
∴或 ，
解得t=或t=；
綜上所述，當(dāng)t=或 或 或 時(shí)，△DEG與△ACB相似．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行四邊形及梯形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、相似三角形等相關(guān)知識(shí)，綜合性強(qiáng)，是一道難度較大的壓軸題．