Question

如圖已知二次函數圖象的頂點坐標為，直線的圖象與該二次函數的圖象交于兩點，其中點坐標為，點在軸上，直線與軸的交點為．為線段上的一個動點（點與不重合），過作軸的垂線與這個二次函數的圖象交于點．

（1）求的值及這個二次函數的解析式；

（2）設線段的長為，點的橫坐標為，求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）為直線與這個二次函數圖象對稱軸的交點，在線段上是否存在點，使得以點為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設拋物線解析式為

在拋物線上，

        

二次函數解析式為：

（或）

令得：

即點在上

把代入得

（2）

（3）假設存在點，①當時，由題意可得，

則

，，舍去

而，存在點，其坐標為．

②當時，

過點作垂直于拋物線的對稱軸，垂足為；

由題意可得：

        

則       

，（舍去）

而，存在點，其坐標為．

綜上所述存在點滿足條件，其坐標為

，

【解析】（1）根據二次函數的頂點坐標，可設拋物線解析式為（頂點式），把點代入解析式即可求出，根據求出點，由點和點求出直線即可

（2）由于，則線段的長等于一次函數減去二次函數值，點在線段上，故

（3）以點為頂點的三角形與相似，由于字母沒有對應，則需分情況討論：

①，利用相似三角形對應邊成比例，得到，注意的取值范圍，得到點 ②，同理可得，注意的取值范圍，得到點